Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{d y}{y^{2}-4 y+4}
\int \frac{d y}{y^{2}-4 y+4}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Devemos usar o Método da Substituição.
- Observação importante: o denominador anula em
, então a função integranda não está definida em ; a primitiva será válida em intervalos onde .
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar o denominador reconhecendo-o como um quadrado perfeito. Calculamos
Isso é visto porque
. Portanto a integral vira
Passo 3
Escolhemos a substituição que simplifica o denominador: seja
Explico o porquê: o denominador depende de
ao quadrado, então substituir
transforma esse termo em
, deixando a integral numa forma mais simples.
Passo 4
Calculamos o diferencial correspondente. Como
, derivando em relação a
obtemos
Substituindo na integral obtemos
Passo 5
Agora usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui temos
(ou seja
), portanto aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à variável original
(pois
), escrevemos a primitiva encontrada em termos de
:
Passo 7
Verificação rápida (boa prática): derivando a primitiva
obtemos
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta (para
).