Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{d y}{y^{2}-4 y+4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dy}{y^{2}-4y+4}.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{1}{y^{2}-4y+4}.
  • Devemos usar o Método da Substituição.
  • Observação importante: o denominador anula em y=2, então a função integranda não está definida em y=2; a primitiva será válida em intervalos onde y\neq2.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar o denominador reconhecendo-o como um quadrado perfeito. Calculamos
y^{2}-4y+4=(y-2)^{2}.
Isso é visto porque (y-2)^{2}=y^{2}-4y+4. Portanto a integral vira
\int \frac{dy}{(y-2)^{2}}.

Passo 3

Escolhemos a substituição que simplifica o denominador: seja
u=y-2.
Explico o porquê: o denominador depende de y-2 ao quadrado, então substituir u=y-2 transforma esse termo em u^{2}, deixando a integral numa forma mais simples.

Passo 4

Calculamos o diferencial correspondente. Como u=y-2, derivando em relação a y obtemos
\frac{du}{dy}=1\quad\Rightarrow\quad du=dy.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{dy}{(y-2)^{2}}=\int \frac{du}{u^{2}}.

Passo 5

Agora usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos u^{-2} (ou seja n=-2), portanto aplicando a fórmula:
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-u^{-1}+C.

Passo 6

Voltando à variável original y (pois u=y-2), escrevemos a primitiva encontrada em termos de y:
-u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{y-2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática): derivando a primitiva -\dfrac{1}{y-2}+C obtemos
\frac{d}{dy}\left(-\frac{1}{y-2}\right)=-\left(-1\right)(y-2)^{-2}\cdot 1=\frac{1}{(y-2)^{2}},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta (para y\neq2).

Resposta

-\dfrac{1}{y-2}+C

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