Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{3 d x}{x^{2}-4 x+1}
\int \frac{3 d x}{x^{2}-4 x+1}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
usando o Método da Substituição. Informação dada: é uma integral indefinida de uma função racional com denominador quadrático
. Não há outras condições (constante de integração
será adicionada no final).
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: completar o quadrado no denominador para ver uma forma mais manejável. Vou reescrever
completando o quadrado:
Explicação didática: completar o quadrado transforma
em
, porque
. Isso deixa o denominador na forma
, que é uma forma padrão que conhecemos como tratável por substituição e decomposição.
Passo 3
Faço uma substituição simples para limpar a expressão:
Substituindo na integral (observe que o numerador
fica
):
Aqui expliquei cada símbolo:
é a nova variável que simplifica o denominador,
é a diferencial de
, e a integral ficou multiplicada por
que estava fora.
Passo 4
Agora temos a integral padrão
Reconheça que
. Uma técnica prática é decompor a função racional em frações parciais usando a identidade
válida para
. Vou demonstrar rapidamente essa identidade: multiplica-se os termos do lado direito por
e verifica-se que resulta em
.
Aqui usamos
. Então
Passo 5
Substituo essa decomposição na integral:
Fatorando constantes:
Portanto
Passo 6
Integro termo a termo. Lembre que
. Assim
Multiplicando pelo fator constante:
Passo 7
Volto à variável original
lembrando que
. Assim a primitiva fica
Podemos simplificar o fator
. Observe que
porque
. Assim uma escrita mais enxuta é
Passo 8
Como alternativa de escrita, podemos juntar os logaritmos numa única razão (propriedade
):
Ambas as formas anteriores são equivalentes (diferem apenas pela constante de integração, se necessário).