Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{3 d x}{x^{2}-4 x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{3\,dx}{x^{2}-4x+1}
usando o Método da Substituição. Informação dada: é uma integral indefinida de uma função racional com denominador quadrático x^{2}-4x+1. Não há outras condições (constante de integração C será adicionada no final).

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: completar o quadrado no denominador para ver uma forma mais manejável. Vou reescrever x^{2}-4x+1 completando o quadrado:
x^{2}-4x+1 = (x-2)^{2} - 4 + 1 = (x-2)^{2} - 3.
Explicação didática: completar o quadrado transforma x^{2}-4x em (x-2)^{2}-4, porque (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4. Isso deixa o denominador na forma (\text{algo})^{2}-a^{2}, que é uma forma padrão que conhecemos como tratável por substituição e decomposição.

Passo 3

Faço uma substituição simples para limpar a expressão:
u = x-2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Substituindo na integral (observe que o numerador 3\,dx fica 3\,du):
\int \frac{3\,dx}{x^{2}-4x+1} = 3\int \frac{du}{u^{2}-3}.
Aqui expliquei cada símbolo: u é a nova variável que simplifica o denominador, du é a diferencial de u, e a integral ficou multiplicada por 3 que estava fora.

Passo 4

Agora temos a integral padrão
3\int \frac{du}{u^{2}-3}.
Reconheça que u^{2}-3 = u^{2}-(\sqrt{3})^{2}. Uma técnica prática é decompor a função racional em frações parciais usando a identidade
\frac{1}{u^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\left(\frac{1}{u-a} - \frac{1}{u+a}\right),
válida para a\neq 0. Vou demonstrar rapidamente essa identidade: multiplica-se os termos do lado direito por (u-a)(u+a) e verifica-se que resulta em 1.
Aqui usamos a=\sqrt{3}. Então
\frac{1}{u^{2}-3} = \frac{1}{u^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{1}{u-\sqrt{3}} - \frac{1}{u+\sqrt{3}}\right).

Passo 5

Substituo essa decomposição na integral:
3\int \frac{du}{u^{2}-3} = 3\int \frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{1}{u-\sqrt{3}} - \frac{1}{u+\sqrt{3}}\right)du.
Fatorando constantes:
3\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}.
Portanto
3\int \frac{du}{u^{2}-3} = \frac{3}{2\sqrt{3}}\int\left(\frac{1}{u-\sqrt{3}} - \frac{1}{u+\sqrt{3}}\right)du.

Passo 6

Integro termo a termo. Lembre que \int \frac{1}{u-a}\,du = \ln|u-a| + C. Assim
\int\left(\frac{1}{u-\sqrt{3}} - \frac{1}{u+\sqrt{3}}\right)du = \ln|u-\sqrt{3}| - \ln|u+\sqrt{3}| + C.
Multiplicando pelo fator constante:
\frac{3}{2\sqrt{3}}\left(\ln|u-\sqrt{3}| - \ln|u+\sqrt{3}|\right) + C.

Passo 7

Volto à variável original x lembrando que u=x-2. Assim a primitiva fica
\frac{3}{2\sqrt{3}}\left(\ln|x-2-\sqrt{3}| - \ln|x-2+\sqrt{3}|\right) + C.
Podemos simplificar o fator \dfrac{3}{2\sqrt{3}}. Observe que
\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2},
porque \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}. Assim uma escrita mais enxuta é
\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\ln|x-2-\sqrt{3}| - \ln|x-2+\sqrt{3}|\right) + C.

Passo 8

Como alternativa de escrita, podemos juntar os logaritmos numa única razão (propriedade \ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}):
\frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right| + C.
Ambas as formas anteriores são equivalentes (diferem apenas pela constante de integração, se necessário).

Resposta

\frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right| + C

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