Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \sqrt{3 t{4}+t{2}} d t
\int \sqrt{3 t{4}+t{2}} d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Dados relevantes: a expressão dentro da raiz é
. A incógnita é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função em termos de
. Nada mais foi pedido (por exemplo, intervalo), então buscamos uma antiderivada geral.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz, extraindo um fator comum
. Isso é válido porque
é sempre não negativo, então podemos usar
quando
. Temos:
Portanto
Lembrando que
, obtemos
Esse passo é importante: a raiz de
não é simplesmente
em geral, é
. Por isso precisamos tratar separadamente os casos
e
, ou usar a função sinal (
).
Passo 3
Explicando o Método da Substituição (mini-aula):
- Ideia: escolher uma nova variável
de modo que a integranda e se expressem simplesmente em termos de e . - Procedimento comum: se aparece uma função composta como
, uma boa escolha é . Então calculamos e substituímos. - Regra de potência para integrar: para
,
Aqui vamos aplicar essa ideia, mas lembrando do fator
. Para lidar com
vamos separar em dois casos:
(onde
) e
(onde
).
Passo 4
Caso 1:
. Então
e a integral fica
Fazemos a substituição
Substituindo:
Agora aplicamos a regra de potência com
:
Logo
Voltando para
usando
, obtemos, para
,
Passo 5
Caso 2:
. Aqui
, então a integral é
Usamos a mesma substituição
,
, então como antes
. Com o sinal negativo:
Portanto, para
a primitiva é
.
Passo 6
Podemos escrever as duas respostas juntas (forma peça a peça) ou de forma compacta usando a função sinal
, lembrando que
se
,
se
(e indefinida em
). Uma forma compacta é
que reproduz os dois casos. Observação importante: antiderivadas podem diferir por constantes em intervalos diferentes; por isso a diferença de sinal entre os ramos é compatível com a indeterminação da constante de integração.
Resposta
Para
\n
Para
\n
Forma compacta:
\n
Para
\n
Forma compacta: