Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \sqrt{3 t{4}+t{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{3 t^{4}+t^{2}}\,dt.
Dados relevantes: a expressão dentro da raiz é 3 t^{4}+t^{2}. A incógnita é t. O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função em termos de t. Nada mais foi pedido (por exemplo, intervalo), então buscamos uma antiderivada geral.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz, extraindo um fator comum t^{2}. Isso é válido porque t^{2} é sempre não negativo, então podemos usar \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a,b\ge 0. Temos:
3 t^{4}+t^{2}=t^{2}(3 t^{2}+1).
Portanto
\sqrt{3 t^{4}+t^{2}}=\sqrt{t^{2}}\sqrt{3 t^{2}+1}.
Lembrando que \sqrt{t^{2}}=|t|, obtemos
\sqrt{3 t^{4}+t^{2}}=|t|\sqrt{3 t^{2}+1}.
Esse passo é importante: a raiz de t^{2} não é simplesmente t em geral, é |t|. Por isso precisamos tratar separadamente os casos t\ge 0 e t<0, ou usar a função sinal ( \mathrm{sgn}(t)).

Passo 3

Explicando o Método da Substituição (mini-aula):
  • Ideia: escolher uma nova variável u de modo que a integranda e dt se expressem simplesmente em termos de u e du.
  • Procedimento comum: se aparece uma função composta como \sqrt{3 t^{2}+1}, uma boa escolha é u=3 t^{2}+1. Então calculamos du e substituímos.
  • Regra de potência para integrar: para n\neq -1, \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui vamos aplicar essa ideia, mas lembrando do fator |t|. Para lidar com |t| vamos separar em dois casos: t\ge 0 (onde |t|=t) e t<0 (onde |t|=-t).

Passo 4

Caso 1: t\ge 0. Então |t|=t e a integral fica
\int |t|\sqrt{3 t^{2}+1}\,dt=\int t\sqrt{3 t^{2}+1}\,dt.
Fazemos a substituição
u=3 t^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du=6t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{6}.
Substituindo:
\int t\sqrt{3 t^{2}+1}\,dt=\int \sqrt{u}\,\frac{du}{6}=\frac{1}{6}\int u^{1/2}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência com n=\tfrac{1}{2}:
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
\frac{1}{6}\int u^{1/2}\,du=\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{9}u^{3/2}.
Voltando para t usando u=3 t^{2}+1, obtemos, para t\ge 0,
\int \sqrt{3 t^{4}+t^{2}}\,dt=\frac{1}{9}\bigl(3 t^{2}+1\bigr)^{3/2}+C.

Passo 5

Caso 2: t<0. Aqui |t|=-t, então a integral é
\int |t|\sqrt{3 t^{2}+1}\,dt=\int (-t)\sqrt{3 t^{2}+1}\,dt=-\int t\sqrt{3 t^{2}+1}\,dt.
Usamos a mesma substituição u=3 t^{2}+1, du=6t\,dt, então como antes \int t\sqrt{3 t^{2}+1}\,dt=\frac{1}{9}u^{3/2}. Com o sinal negativo:
\int \sqrt{3 t^{4}+t^{2}}\,dt=-\frac{1}{9}u^{3/2}+C=-\frac{1}{9}\bigl(3 t^{2}+1\bigr)^{3/2}+C.
Portanto, para t<0 a primitiva é -\dfrac{1}{9}\bigl(3 t^{2}+1\bigr)^{3/2}+C.

Passo 6

Podemos escrever as duas respostas juntas (forma peça a peça) ou de forma compacta usando a função sinal \mathrm{sgn}(t), lembrando que \mathrm{sgn}(t)=1 se t>0, \mathrm{sgn}(t)=-1 se t<0 (e indefinida em 0). Uma forma compacta é
\frac{1}{9}\,\mathrm{sgn}(t)\,\bigl(3 t^{2}+1\bigr)^{3/2}+C,
que reproduz os dois casos. Observação importante: antiderivadas podem diferir por constantes em intervalos diferentes; por isso a diferença de sinal entre os ramos é compatível com a indeterminação da constante de integração.

Resposta

Para t\ge 0:\quad \dfrac{1}{9}\bigl(3 t^{2}+1\bigr)^{3/2}+C
\n
Para t<0:\quad -\dfrac{1}{9}\bigl(3 t^{2}+1\bigr)^{3/2}+C
\n
Forma compacta: \dfrac{1}{9}\,\mathrm{sgn}(t)\,\bigl(3 t^{2}+1\bigr)^{3/2}+C

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