Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int(\operatorname{sen} 4 x+\cos 2 \pi) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int(\operatorname{sen} 4 x+\cos 2 \pi)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: \operatorname{sen}4x e \cos 2\pi.
  • A operação pedida é a integração indefinida (antiderivada).
  • Devemos fornecer uma primitiva (ou família de primitivas) da função, ou seja, uma expressão cuja derivada seja a integranda.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a parcela que é constante: lembrando o valor do cosseno no ângulo 2\pi,
\cos 2\pi = 1,
pois 2\pi radianos equivalem a 360^\circ e \cos(360^\circ)=1. Portanto a integral fica
\int(\operatorname{sen}4x+1)\,dx.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais):
\int(\operatorname{sen}4x+1)\,dx = \int \operatorname{sen}4x\,dx + \int 1\,dx.
Agora vamos tratar cada parcela separadamente.

Passo 4

Explicação didática do Método da Substituição (caso padrão usado aqui):
Se tivermos uma integral da forma \int f(ax)\,dx, uma substituição natural é u=ax. Então du=a\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{a}. Assim
\int f(ax)\,dx = \int f(u)\,\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int f(u)\,du.
Esse procedimento é útil porque transforma uma função composta f(ax) numa integral mais simples em u.

Passo 5

Aplicando a substituição ao termo \int \operatorname{sen}4x\,dx: seja u=4x. Então du=4\,dx, ou
dx=\frac{du}{4}.
Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}4x\,dx = \int \operatorname{sen}u\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \operatorname{sen}u\,du.

Passo 6

Agora precisamos da primitiva de \operatorname{sen}u. Sabemos que a derivada de \cos u é -\operatorname{sen}u. Logo a primitiva de \operatorname{sen}u é -\cos u, porque a derivada de -\cos u é \operatorname{sen}u. Assim
\int \operatorname{sen}u\,du = -\cos u + C.
Voltando à nossa integral com o fator 1/4,
\frac{1}{4}\int \operatorname{sen}u\,du = \frac{1}{4}(-\cos u) + C = -\frac{1}{4}\cos u + C.
Substituindo u=4x de volta,
\int \operatorname{sen}4x\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C.

Passo 7

Agora a segunda parcela: \int 1\,dx. A primitiva de 1 em relação a x é x, pois \dfrac{d}{dx}x = 1. Logo
\int 1\,dx = x + C.

Passo 8

Somando as duas primitivas (e agrupando as constantes de integração num único C), obtemos a primitiva geral da integranda:
\int(\operatorname{sen}4x+1)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + x + C.

Passo 9

Verificação rápida (para me deixar mais confiante e você também): derivando a resposta
\frac{d}{dx}\Big(-\frac{1}{4}\cos(4x) + x\Big) = -\frac{1}{4}\cdot(-\sin(4x))\cdot 4 + 1 = \sin(4x) + 1,
que é justamente a integranda original (lembrando que \cos 2\pi=1). Tudo confere.

Resposta

-\dfrac{1}{4}\cos(4x)+x+C

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