Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int(\operatorname{sen} 4 x+\cos 2 \pi) d x
\int(\operatorname{sen} 4 x+\cos 2 \pi) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e . - A operação pedida é a integração indefinida (antiderivada).
- Devemos fornecer uma primitiva (ou família de primitivas) da função, ou seja, uma expressão cuja derivada seja a integranda.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a parcela que é constante: lembrando o valor do cosseno no ângulo
,
pois
radianos equivalem a
e
. Portanto a integral fica
Passo 3
Usamos a propriedade de linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais):
Agora vamos tratar cada parcela separadamente.
Passo 4
Explicação didática do Método da Substituição (caso padrão usado aqui):
Se tivermos uma integral da forma , uma substituição natural é
. Então
, ou seja
. Assim
Se tivermos uma integral da forma
Esse procedimento é útil porque transforma uma função composta
numa integral mais simples em
.
Passo 5
Aplicando a substituição ao termo
: seja
. Então
, ou
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora precisamos da primitiva de
. Sabemos que a derivada de
é
. Logo a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Assim
Voltando à nossa integral com o fator
,
Substituindo
de volta,
Passo 7
Agora a segunda parcela:
. A primitiva de
em relação a
é
, pois
. Logo
Passo 8
Somando as duas primitivas (e agrupando as constantes de integração num único
), obtemos a primitiva geral da integranda:
Passo 9
Verificação rápida (para me deixar mais confiante e você também): derivando a resposta
que é justamente a integranda original (lembrando que
). Tudo confere.