Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
\int_{2}^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} \ln x}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{2}^{+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}\ln x}}\,dx
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • O intervalo de integração é [2,+\infty), logo há impropriedade por causa do limite superior infinito.
  • Para x\ge2 temos \ln x>0, portanto a expressão \sqrt{x^{2}\ln x} está bem definida e positiva nesse intervalo.
  • A tarefa é avaliar o comportamento da integral quando o limite da integração vai para +\infty.

Passo 2

Vamos simplificar a função integranda antes de qualquer teste. Para x>0 e \ln x>0 vale
\sqrt{x^{2}\ln x}=\sqrt{x^{2}}\sqrt{\ln x}=x\sqrt{\ln x},
porque \sqrt{x^{2}}=x quando x>0. Como x\ge2 aqui, essa igualdade é válida.

Passo 3

Substituindo na integranda obtemos
\frac{x}{\sqrt{x^{2}\ln x}}=\frac{x}{x\sqrt{\ln x}}=\frac{1}{\sqrt{\ln x}}.
Portanto a integral fica
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{\ln x}}\,dx.

Passo 4

Vou escolher o teste da comparação (teste de comparação direta). Motivo: a integranda simplificada \dfrac{1}{\sqrt{\ln x}} é positiva para x\ge2 e podemos compará‑la com funções conhecidas cuja integral é convergente ou divergente. Se conseguirmos encontrar uma função menor com integral divergente, ou uma função maior com integral convergente, decidimos a convergência de forma simples.

Passo 5

Compare \dfrac{1}{\sqrt{\ln x}} com \dfrac{1}{x}. Quero mostrar que, para x\ge2,
\frac{1}{\sqrt{\ln x}}\ge\frac{1}{x}.
Isso é equivalente a mostrar x\ge\sqrt{\ln x}, que por sua vez equivale (ao elevar ao quadrado, já que ambos são não negativos) a
x^{2}\ge\ln x.
Defina \varphi(x)=x^{2}-\ln x. Temos
\varphi'(x)=2x-\frac{1}{x}=\frac{2x^{2}-1}{x}.
Para x\ge2 temos 2x^{2}-1>0, então \varphi'(x)>0 em [2,\infty), isto é, \varphi é crescente ali. Além disso \varphi(2)=4-\ln 2>0. Logo \varphi(x)>0 para todo x\ge2, o que prova x^{2}>\ln x e então x>\sqrt{\ln x}. Portanto a desigualdade
\frac{1}{\sqrt{\ln x}}\ge\frac{1}{x}
vale para todo x\ge2.

Passo 6

Agora usamos o teste de comparação. Sabendo que para x\ge2
0\le\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{\ln x}},
e que a integral
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx
é divergente (pois \int_{2}^{A}\frac{1}{x}\,dx=[\ln x]_{2}^{A}=\ln A-\ln 2\to+\infty quando A\to+\infty), concluímos que a integral maior
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{\ln x}}\,dx
também diverge (se a função menor tem área infinita, a função maior também terá).

Passo 7

Portanto a integral imprópria original diverge. Foi útil primeiro simplificar a integranda e então aplicar o teste de comparação com uma função padrão cuja integral divergente é bem conhecida.

Resposta

A integral é divergente.

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