Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
;
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
- O intervalo de integração é
, logo há impropriedade por causa do limite superior infinito. - Para
temos , portanto a expressão está bem definida e positiva nesse intervalo. - A tarefa é avaliar o comportamento da integral quando o limite da integração vai para
.
Passo 2
Vamos simplificar a função integranda antes de qualquer teste. Para
e
vale
porque
quando
. Como
aqui, essa igualdade é válida.
Passo 3
Substituindo na integranda obtemos
Portanto a integral fica
Passo 4
Vou escolher o teste da comparação (teste de comparação direta). Motivo: a integranda simplificada
é positiva para
e podemos compará‑la com funções conhecidas cuja integral é convergente ou divergente. Se conseguirmos encontrar uma função menor com integral divergente, ou uma função maior com integral convergente, decidimos a convergência de forma simples.
Passo 5
Compare
com
. Quero mostrar que, para
,
Isso é equivalente a mostrar
, que por sua vez equivale (ao elevar ao quadrado, já que ambos são não negativos) a
Defina
. Temos
Para
temos
, então
em
, isto é,
é crescente ali. Além disso
. Logo
para todo
, o que prova
e então
. Portanto a desigualdade
vale para todo
.
Passo 6
Agora usamos o teste de comparação. Sabendo que para
e que a integral
é divergente (pois
quando
), concluímos que a integral maior
também diverge (se a função menor tem área infinita, a função maior também terá).
Passo 7
Portanto a integral imprópria original diverge. Foi útil primeiro simplificar a integranda e então aplicar o teste de comparação com uma função padrão cuja integral divergente é bem conhecida.
Resposta
A integral é divergente.