Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
\int_{1}^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{4}+x+1}} d x;

Passo 1

O enunciado dá a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{4}+x+1}}\,dx
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo de integração é [1,+\infty).
  • O integrando é a função positiva \displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{4}+x+1}} para x\ge1.
  • Trata‑se de uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.

Passo 2

Lembrete sobre o que significa analisar convergência: a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx
é definida como o limite
\lim_{R\to+\infty}\int_{1}^{R} f(x)\,dx.
Se esse limite existe e é finito, a integral é convergente; se o limite é +\infty ou não existe finitamente, a integral é divergente. Como f(x)\ge0 para x\ge1, podemos usar testes de comparação para decidir convergência.

Passo 3

Vamos usar o teste da comparação por limite (limit comparison). A ideia é comparar f(x) com uma função simples g(x) cuja integral sabemos se converge ou diverge. Observação prática: para x grande, o termo dominante em x^{4}+x+1 é x^{4}, então espera‑se que
\frac{x}{\sqrt{x^{4}+x+1}}
se comporte como
\frac{x}{\sqrt{x^{4}}}=\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}.
Portanto escolhemos g(x)=\dfrac{1}{x}, cuja integral \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx sabemos que diverge (é o logaritmo divergente). Agora aplicamos o teste da comparação por limite: se
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L
com 0<L<+\infty, então \int f e \int g convergem ou divergem juntos.

Passo 4

Calculemos o limite pedido. Temos f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{4}+x+1}} e g(x)=\dfrac{1}{x}. Então
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{4}+x+1}}}{\dfrac{1}{x}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}+x+1}}.
Para facilitar o limite, dividimos numerador e denominador dentro da raiz por x^{4}:
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}+x+1}} =\frac{x^{2}}{x^{2}\sqrt{1+x^{-3}+x^{-4}}} =\frac{1}{\sqrt{1+x^{-3}+x^{-4}}}.
Agora tomamos o limite quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+x^{-3}+x^{-4}}} =\frac{1}{\sqrt{1+0+0}}=1.
Portanto o limite L é 1, um número finito e não nulo.

Passo 5

Pelo teste da comparação por limite, como
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\in(0,+\infty),
as integrais \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx e \int_{1}^{\infty} g(x)\,dx têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas, ou divergem ambas). Sabemos que
\int_{1}^{R}\frac{1}{x}\,dx=\ln R\to+\infty\quad\text{quando }R\to+\infty,
logo \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx diverge. Consequentemente, \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{4}+x+1}}\,dx também diverge.

Passo 6

Intuição final e dica prática para a prova: quando o integrando é uma razão de potências, factorar o maior poder de x no radical e simplificar costuma revelar o comportamento assintótico. Aqui sobrou 1/x no comportamento assintótico, e a integral de 1/x no infinito é clássica (diverge como \ln x). Em problemas parecidos, procure comparar com potências x^{-\alpha}; se \alpha\le1 a integral \int_{1}^{\infty}x^{-\alpha}\,dx diverge, se \alpha>1 converge — isso é uma regra útil.

Resposta

A integral é divergente.

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