Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
;
Passo 1
O enunciado dá a integral imprópria
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
- O intervalo de integração é
. - O integrando é a função positiva
para . - Trata‑se de uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
Passo 2
Lembrete sobre o que significa analisar convergência: a integral imprópria
é definida como o limite
Se esse limite existe e é finito, a integral é convergente; se o limite é
ou não existe finitamente, a integral é divergente. Como
para
, podemos usar testes de comparação para decidir convergência.
Passo 3
Vamos usar o teste da comparação por limite (limit comparison). A ideia é comparar
com uma função simples
cuja integral sabemos se converge ou diverge. Observação prática: para
grande, o termo dominante em
é
, então espera‑se que
se comporte como
Portanto escolhemos
, cuja integral
sabemos que diverge (é o logaritmo divergente). Agora aplicamos o teste da comparação por limite: se
com
, então
e
convergem ou divergem juntos.
Passo 4
Calculemos o limite pedido. Temos
e
. Então
Para facilitar o limite, dividimos numerador e denominador dentro da raiz por
:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto o limite
é
, um número finito e não nulo.
Passo 5
Pelo teste da comparação por limite, como
as integrais
e
têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas, ou divergem ambas). Sabemos que
logo
diverge. Consequentemente,
também diverge.
Passo 6
Intuição final e dica prática para a prova: quando o integrando é uma razão de potências, factorar o maior poder de
no radical e simplificar costuma revelar o comportamento assintótico. Aqui sobrou
no comportamento assintótico, e a integral de
no infinito é clássica (diverge como
). Em problemas parecidos, procure comparar com potências
; se
a integral
diverge, se
converge — isso é uma regra útil.
Resposta
A integral é divergente.