Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{cotg} u d u
\int \operatorname{cotg} u d u
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando é
e a variável de integração é
. É uma integral sem limites (indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração
.
Observação útil que vem do enunciado: é a cotangente, que pode ser escrita como fração trigonométrica.
Observação útil que vem do enunciado:
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica que transforma a cotangente em razão entre cosseno e seno:
Logo a integral fica
Explicação curta: escrever o integrando como uma fração muitas vezes facilita achar uma substituição que simplify.
Passo 3
Escolhemos uma substituição natural: como aparece
no denominador e
no numerador, definimos
Agora calculamos
em função de
. Derivando
em relação a
obtemos
Explicação do método da substituição: queremos transformar a integral em uma em que a variável seja
. Se conseguimos escrever todo o diferencial
como
, a integral fica mais simples.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos
Aqui fizemos a conta passo a passo: o numerador
virou
e o denominador
virou
.
Passo 5
Agora integramos
. Sabemos que a primitiva de
(para
) é o logaritmo natural do valor absoluto:
Pequena justificativa:
. Usamos valor absoluto porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, e
pode ser negativo.
Passo 6
Voltando à variável original
(substituição inversa), lembramos que
. Portanto a primitiva da integral original é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos
o que confirma que a primitiva está correta.