Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{cotg} u d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cotg} u \, du.
Informações dadas: integrando é \operatorname{cotg} u e a variável de integração é u. É uma integral sem limites (indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração C.
Observação útil que vem do enunciado: \operatorname{cotg} u é a cotangente, que pode ser escrita como fração trigonométrica.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica que transforma a cotangente em razão entre cosseno e seno:
\operatorname{cotg} u = \frac{\cos u}{\sin u}.
Logo a integral fica
\int \operatorname{cotg} u \, du = \int \frac{\cos u}{\sin u}\, du.
Explicação curta: escrever o integrando como uma fração muitas vezes facilita achar uma substituição que simplify.

Passo 3

Escolhemos uma substituição natural: como aparece \sin u no denominador e \cos u no numerador, definimos
t = \sin u.
Agora calculamos dt em função de du. Derivando t em relação a u obtemos
dt = \cos u \, du.
Explicação do método da substituição: queremos transformar a integral em uma em que a variável seja t. Se conseguimos escrever todo o diferencial \cos u\,du como dt, a integral fica mais simples.

Passo 4

Substituindo t=\sin u e dt=\cos u\,du na integral, temos
\int \frac{\cos u}{\sin u}\, du = \int \frac{1}{t}\, dt.
Aqui fizemos a conta passo a passo: o numerador \cos u\,du virou dt e o denominador \sin u virou t.

Passo 5

Agora integramos \int \frac{1}{t}\, dt. Sabemos que a primitiva de 1/t (para t\neq 0) é o logaritmo natural do valor absoluto:
\int \frac{1}{t}\, dt = \ln|t| + C.
Pequena justificativa: \dfrac{d}{dt}\ln|t| = \dfrac{1}{t}. Usamos valor absoluto porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, e t pode ser negativo.

Passo 6

Voltando à variável original u (substituição inversa), lembramos que t=\sin u. Portanto a primitiva da integral original é
\ln|\sin u| + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{du}\ln|\sin u| = \frac{1}{\sin u}\cdot \cos u = \frac{\cos u}{\sin u} = \operatorname{cotg} u,
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\ln|\sin u| + C

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