Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{sec} ^{2}(5 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}(5x+3)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sec}^{2}(5x+3) e a operação é uma integral indefinida (logo o resultado deve ter uma constante de integração C). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática do que faremos): quando vemos uma função composta do tipo \operatorname{sec}^{2}(5x+3), uma técnica muito útil é trocar a variável usando uma substituição para simplificar a parte interna da composição. Vou explicar passo a passo como fazer isso e por que funciona — pense nisso como “olhar a parte interna 5x+3 como uma nova variável”.

Passo 3

Escolhemos a substituição. Definimos uma nova variável u igual à parte interna:
u = 5x + 3.
Isso transforma a parte complicada em algo mais simples. Agora precisamos relacionar du com dx.

Passo 4

Calculamos du. Diferenciando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = 5.
Isolando dx obtemos
dx = \frac{du}{5}.
Explicação: essa etapa vem diretamente da regra da diferenciação. É necessário para substituir dx na integral original.

Passo 5

Substituímos na integral original todos os pedaços: a função \operatorname{sec}^{2}(5x+3) vira \operatorname{sec}^{2}(u) e dx vira \dfrac{du}{5}. Assim
\int \operatorname{sec}^{2}(5x+3)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{du}{5}.
Podemos tirar a constante \dfrac{1}{5} para fora da integral:
\int \operatorname{sec}^{2}(5x+3)\,dx = \frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 6

Agora precisamos integrar \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du. Lembrete importante (aula curta): a derivada da função \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u). Em notação,
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Portanto a integral inversa é
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C.
Esse é o motivo pelo qual \tan aparece no resultado: integração é o processo inverso da diferenciação.

Passo 7

Voltando à expressão com o fator \dfrac{1}{5},
\frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{5}\bigl(\tan(u)+C\bigr).
Podemos incorporar a constante multiplicativa em uma nova constante de integração (ou simplesmente escrever +\;C no final). Substituindo u = 5x+3 de volta, obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}(5x+3)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x+3) + C.

Passo 8

Verificação rápida (confirmação didática): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{5}\tan(5x+3)\right) = \frac{1}{5}\cdot \operatorname{sec}^{2}(5x+3)\cdot 5 = \operatorname{sec}^{2}(5x+3),
que é exatamente o integrando original. Isso confirma que o resultado está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\tan(5x+3)+C

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