Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{sec} ^{2}(5 x+3) d x
\int \operatorname{sec} ^{2}(5 x+3) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
e a operação é uma integral indefinida (logo o resultado deve ter uma constante de integração
). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática do que faremos): quando vemos uma função composta do tipo
, uma técnica muito útil é trocar a variável usando uma substituição para simplificar a parte interna da composição. Vou explicar passo a passo como fazer isso e por que funciona — pense nisso como “olhar a parte interna
como uma nova variável”.
Passo 3
Escolhemos a substituição. Definimos uma nova variável
igual à parte interna:
Isso transforma a parte complicada em algo mais simples. Agora precisamos relacionar
com
.
Passo 4
Calculamos
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Isolando
obtemos
Explicação: essa etapa vem diretamente da regra da diferenciação. É necessário para substituir
na integral original.
Passo 5
Substituímos na integral original todos os pedaços: a função
vira
e
vira
. Assim
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 6
Agora precisamos integrar
. Lembrete importante (aula curta): a derivada da função
é
. Em notação,
Portanto a integral inversa é
Esse é o motivo pelo qual
aparece no resultado: integração é o processo inverso da diferenciação.
Passo 7
Voltando à expressão com o fator
,
Podemos incorporar a constante multiplicativa em uma nova constante de integração (ou simplesmente escrever
no final). Substituindo
de volta, obtemos
Passo 8
Verificação rápida (confirmação didática): derivando o resultado obtemos
que é exatamente o integrando original. Isso confirma que o resultado está correto.