Exercício 1. Determine se a sequência
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é convergente ou divergente.
Informações dadas: a sequência é definida termo a termo por
Informações dadas: a sequência é definida termo a termo por
onde
é um inteiro positivo (ou natural). Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para entender o comportamento da sequência (sempre escrevendo cada número em matemática):
Portanto os termos são
— a sequência alterna entre
e
.
Passo 3
Para descrever isso de forma geral, separamos os índices em pares e ímpares. Escrevemos
como
(par) ou
(ímpar), com
inteiro positivo.
Se
então
logo
Se
então
logo
Assim temos duas subsequências simples: a subsequência dos termos com índice par é constante igual a
e a subsequência dos termos com índice ímpar é constante igual a
.
Passo 4
Agora um resultado importante que vamos usar (explicado de forma simples): se uma sequência
converge para um limite
, então qualquer subsequência de
também converge para o mesmo limite
. Ou seja, todas as subsequências devem ter o mesmo limite se a sequência original tiver limite.
Explicando a ideia sem jargão: uma subsequência é só pegar alguns termos da sequência original respeitando a ordem (por exemplo, todos os termos pares). Se a sequência inteira se aproxima de um número
, cada parte (subsequência) também tem que se aproximar desse mesmo
.
Passo 5
Apliquei o resultado do passo anterior às nossas duas subsequências:
- A subsequência
(índices pares) é constante igual a , logo ela converge para . - A subsequência
(índices ímpares) é constante igual a , logo ela converge para .
Como as duas subsequências convergem para limites diferentes (
e
), não é possível que a sequência original tenha um único limite comum
. Isso viola o fato do passo anterior, logo a sequência
não converge.
Passo 6
(Complemento, prova por contradição com
) — para ver de forma ainda mais formal: suponha que
converge para algum
. Pegue
. Convergência significaria que existe
tal que para todo
temos
. Mas, por causa da alternância, para qualquer
sempre existem
com
e outros
com
. Então seria necessário ter simultaneamente
e
. Pela desigualdade triangular isso implicaria
, ou seja
, contradição. Portanto não existe tal
e a sequência é divergente.
Resposta
A sequência
é divergente.