Exercício 1. Determine se a sequência \left((-1)^{n}+1\right) é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \left((-1)^{n}+1\right) é convergente ou divergente.
Informações dadas: a sequência é definida termo a termo por
a_n = (-1)^{n} + 1,
onde n é um inteiro positivo (ou natural). Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para entender o comportamento da sequência (sempre escrevendo cada número em matemática):
a_1 = (-1)^{1}+1 = -1+1 = 0,
a_2 = (-1)^{2}+1 = 1+1 = 2,
a_3 = (-1)^{3}+1 = -1+1 = 0,
a_4 = (-1)^{4}+1 = 1+1 = 2.
Portanto os termos são 0,2,0,2,\dots — a sequência alterna entre 0 e 2.

Passo 3

Para descrever isso de forma geral, separamos os índices em pares e ímpares. Escrevemos n como n=2k (par) ou n=2k+1 (ímpar), com k inteiro positivo.
Se n=2k então
(-1)^{n}=(-1)^{2k}=1,
logo
a_{2k}=1+1=2.
Se n=2k+1 então
(-1)^{n}=(-1)^{2k+1}=-1,
logo
a_{2k+1}=-1+1=0.
Assim temos duas subsequências simples: a subsequência dos termos com índice par é constante igual a 2 e a subsequência dos termos com índice ímpar é constante igual a 0.

Passo 4

Agora um resultado importante que vamos usar (explicado de forma simples): se uma sequência \left(a_n\right) converge para um limite L, então qualquer subsequência de \left(a_n\right) também converge para o mesmo limite L. Ou seja, todas as subsequências devem ter o mesmo limite se a sequência original tiver limite.
Explicando a ideia sem jargão: uma subsequência é só pegar alguns termos da sequência original respeitando a ordem (por exemplo, todos os termos pares). Se a sequência inteira se aproxima de um número L, cada parte (subsequência) também tem que se aproximar desse mesmo L.

Passo 5

Apliquei o resultado do passo anterior às nossas duas subsequências:
  • A subsequência \left(a_{2k}\right) (índices pares) é constante igual a 2, logo ela converge para 2.
  • A subsequência \left(a_{2k+1}\right) (índices ímpares) é constante igual a 0, logo ela converge para 0.
Como as duas subsequências convergem para limites diferentes ( 2 e 0), não é possível que a sequência original tenha um único limite comum L. Isso viola o fato do passo anterior, logo a sequência \left(a_n\right) não converge.

Passo 6

(Complemento, prova por contradição com \varepsilon) — para ver de forma ainda mais formal: suponha que \left(a_n\right) converge para algum L. Pegue \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Convergência significaria que existe N tal que para todo n\ge N temos |a_n-L|<\tfrac{1}{2}. Mas, por causa da alternância, para qualquer N sempre existem n\ge N com a_n=0 e outros m\ge N com a_m=2. Então seria necessário ter simultaneamente |0-L|<\tfrac{1}{2} e |2-L|<\tfrac{1}{2}. Pela desigualdade triangular isso implicaria |2-0|\le |2-L|+|L-0|<1, ou seja 2<1, contradição. Portanto não existe tal L e a sequência é divergente.

Resposta

A sequência \left((-1)^{n}+1\right) é divergente.

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