Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{sen}^{1 / 2} 2 \theta \cos 2 \theta d \theta
\int \operatorname{sen}^{1 / 2} 2 \theta \cos 2 \theta d \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que se pede:
- A função integranda é
, isto é, multiplicada por . - Queremos uma primitiva (a integral indefinida), ou seja, uma função
tal que . - Não há restrições adicionais; inclui-se a constante de integração
.
Passo 2
Escolha da substituição: para o Método da Substituição procuramos uma parte da integranda cuja derivada apareça multiplicando-a. Aqui vemos
elevado a uma potência e
multiplicando — isso sugere definir uma nova variável igual a
. Fazemos:
Agora calculamos
em termos de
. Aplicando a regra da derivada de
e a derivada de
:
Isolando
obtemos:
Passo 3
Fazendo a substituição na integral: substituímos
por
e
por
. Assim a integral vira uma integral em
:
Colocando o fator constante à frente:
Passo 4
Integração em
usando a regra da potência: a fórmula básica é
Aqui
. Aplicando a fórmula:
Multiplicando pelo fator
que ficou fora:
Passo 5
Volta para a variável original
: lembrando que
, substituímos:
Verificação rápida (útil na prova): derivando
usando a regra da cadeia obtemos
que é exatamente a integranda, então está correto. Força aí — você conseguiu!