Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{sen}^{1 / 2} 2 \theta \cos 2 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{1/2}(2\theta)\cos(2\theta)\,d\theta.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função integranda é \sin^{1/2}(2\theta)\cos(2\theta), isto é, \big(\sin(2\theta)\big)^{1/2} multiplicada por \cos(2\theta).
  • Queremos uma primitiva (a integral indefinida), ou seja, uma função F(\theta) tal que F'(\theta)=\sin^{1/2}(2\theta)\cos(2\theta).
  • Não há restrições adicionais; inclui-se a constante de integração C.

Passo 2

Escolha da substituição: para o Método da Substituição procuramos uma parte da integranda cuja derivada apareça multiplicando-a. Aqui vemos \sin(2\theta) elevado a uma potência e \cos(2\theta)\,d\theta multiplicando — isso sugere definir uma nova variável igual a \sin(2\theta). Fazemos:
u=\sin(2\theta).
Agora calculamos du em termos de d\theta. Aplicando a regra da derivada de \sin e a derivada de 2\theta:
du = \frac{d}{d\theta}\big(\sin(2\theta)\big)\,d\theta = 2\cos(2\theta)\,d\theta.
Isolando \cos(2\theta)\,d\theta obtemos:
\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Fazendo a substituição na integral: substituímos \sin(2\theta) por u e \cos(2\theta)\,d\theta por \tfrac{1}{2}\,du. Assim a integral vira uma integral em u:
\int \sin^{1/2}(2\theta)\cos(2\theta)\,d\theta = \int u^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\,du.
Colocando o fator constante à frente:
= \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integração em u usando a regra da potência: a fórmula básica é
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que ficou fora:
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{3}u^{3/2}+C.

Passo 5

Volta para a variável original \theta: lembrando que u=\sin(2\theta), substituímos:
\frac{1}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{3}\big(\sin(2\theta)\big)^{3/2}+C = \frac{1}{3}\sin^{3/2}(2\theta)+C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando F(\theta)=\tfrac{1}{3}\sin^{3/2}(2\theta) usando a regra da cadeia obtemos
F'(\theta)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\sin^{1/2}(2\theta)\cdot\cos(2\theta)\cdot 2 = \sin^{1/2}(2\theta)\cos(2\theta),
que é exatamente a integranda, então está correto. Força aí — você conseguiu!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\sin^{3/2}(2\theta)+C

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