Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int x^{4} e{-x{5}} d x
\int x^{4} e{-x{5}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
ou seja, encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. As informações relevantes são: o integrando é o produto de
por uma exponencial
. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia do Método da Substituição (explicação didática): quando temos uma função composta, por exemplo
, frequentemente a parte interna
ou
é uma boa escolha para substituir por uma nova variável
. A razão prática é que a derivada dessa parte interna costuma aparecer multiplicando, aqui vemos
perto de
, e isso sugere que dá para transformar a integral numa forma simples usando
.
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo de
: vamos escolher
Agora derivamos ambos os lados em relação a
para obter
:
Isolando
(porque esse termo aparece na integral original) temos
Obs.: aqui usamos a regra da diferenciação
. Isso é apenas aplicar a regra do poder: se
, então
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral: substituímos
por
e
por
. Assim
Colocamos a constante
fora da integral porque constantes podem ser fatoradas.
Passo 5
Calcular a integral em
: a antiderivada de
em relação a
é
, pois
. Portanto
Passo 6
Voltar à variável original
: como
, substituímos de volta:
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada devemos recuperar o integrando.
que é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.
Passo 8
Exemplo adicional rápido (para reforçar a técnica): se tivéssemos
, faríamos
,
,
e obteríamos
. A ideia é exatamente a mesma: identificar a parte interna de uma composição e usar sua derivada para substituir.