Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int x^{4} e{-x{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{4} e^{-x^{5}} \, dx
ou seja, encontrar uma primitiva (antiderivada) de x^{4} e^{-x^{5}}. As informações relevantes são: o integrando é o produto de x^{4} por uma exponencial e^{-x^{5}}. Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia do Método da Substituição (explicação didática): quando temos uma função composta, por exemplo e^{-x^{5}}, frequentemente a parte interna -x^{5} ou x^{5} é uma boa escolha para substituir por uma nova variável u. A razão prática é que a derivada dessa parte interna costuma aparecer multiplicando, aqui vemos x^{4} perto de e^{-x^{5}}, e isso sugere que dá para transformar a integral numa forma simples usando u.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo de du: vamos escolher
u = x^{5}.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x para obter du:
du = 5x^{4}\,dx.
Isolando x^{4}\,dx (porque esse termo aparece na integral original) temos
x^{4}\,dx = \frac{1}{5}\,du.
Obs.: aqui usamos a regra da diferenciação \dfrac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}. Isso é apenas aplicar a regra do poder: se f(x)=x^{n}, então f'(x)=n x^{n-1}.

Passo 4

Fazer a substituição na integral: substituímos x^{4}\,dx por \dfrac{1}{5}\,du e e^{-x^{5}} por e^{-u}. Assim
\int x^{4} e^{-x^{5}} \, dx = \int e^{-u} \cdot \frac{1}{5}\,du = \frac{1}{5}\int e^{-u}\,du.
Colocamos a constante \dfrac{1}{5} fora da integral porque constantes podem ser fatoradas.

Passo 5

Calcular a integral em u: a antiderivada de e^{-u} em relação a u é -e^{-u}, pois \dfrac{d}{du}\bigl(-e^{-u}\bigr)= -\bigl(-e^{-u}\bigr)=e^{-u}. Portanto
\frac{1}{5}\int e^{-u}\,du = \frac{1}{5}\bigl(-e^{-u}\bigr) + C = -\frac{1}{5}e^{-u} + C.

Passo 6

Voltar à variável original x: como u = x^{5}, substituímos de volta:
-\frac{1}{5}e^{-u} + C = -\frac{1}{5}e^{-x^{5}} + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando a primitiva encontrada devemos recuperar o integrando.
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{5}e^{-x^{5}}\right) = -\frac{1}{5}\cdot e^{-x^{5}}\cdot \frac{d}{dx}(-x^{5}) = -\frac{1}{5}\cdot e^{-x^{5}}\cdot(-5x^{4}) = x^{4}e^{-x^{5}},
que é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.

Passo 8

Exemplo adicional rápido (para reforçar a técnica): se tivéssemos \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx, faríamos u=x^{3}, du=3x^{2}dx, x^{2}dx=\frac{1}{3}du e obteríamos \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx=\frac{1}{3}\int e^{u}du=\frac{1}{3}e^{u}+C=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C. A ideia é exatamente a mesma: identificar a parte interna de uma composição e usar sua derivada para substituir.

Resposta

-\dfrac{1}{5}e^{-x^{5}}+C

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