Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int x^{2} \sqrt{1+x} d x
\int x^{2} \sqrt{1+x} d x
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
usando o Método da Substituição.
Informações dadas que vou usar:
Informações dadas que vou usar:
- A função integranda é
. - Quero uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que . - O enunciado exige usar o método da substituição (trocar a variável por outra de modo a simplificar a integral).
Passo 2
Por que escolher uma substituição e qual escolher?
Na prática, quando vemos uma raiz do tipo (ou seja, uma função composta com
dentro), uma escolha natural é definir uma nova variável que elimine essa composição. Vou escolher
Na prática, quando vemos uma raiz do tipo
Essa substituição tende a simplificar a parte
, pois ficará apenas
.
Passo 3
Agora relaciono
e
com
e
. A partir de
, tenho
e diferenciando ambos os lados,
Portanto posso substituir
por
e
por
.
Passo 4
Faço a substituição na integral original. Substituindo
e
e
, obtenho
Passo 5
Expando
para poder integrar termo a termo:
Multiplicando por
, fica
Logo a integral passa a ser
Passo 6
Vou usar a regra básica de potências para integrar: se
,
Aqui cada termo tem a forma
com
. Vou aplicar a fórmula termo a termo.
Passo 7
Integro cada termo:
- Para
: , então
- Para
: fatoro o e integro com :
portanto
- Para
: ,
Passo 8
Somando os resultados e incluindo a constante de integração
, a primitiva em termos de
é
Passo 9
Volto para a variável original usando
. Substituindo, a antiderivada em
fica