Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int x^{2} \sqrt{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int x^{2}\sqrt{1+x}\,dx
usando o Método da Substituição.
Informações dadas que vou usar:
  • A função integranda é x^{2}\sqrt{1+x}.
  • Quero uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\sqrt{1+x}.
  • O enunciado exige usar o método da substituição (trocar a variável por outra de modo a simplificar a integral).

Passo 2

Por que escolher uma substituição e qual escolher?
Na prática, quando vemos uma raiz do tipo \sqrt{1+x} (ou seja, uma função composta com 1+x dentro), uma escolha natural é definir uma nova variável que elimine essa composição. Vou escolher
u = 1 + x.
Essa substituição tende a simplificar a parte \sqrt{1+x}, pois ficará apenas \sqrt{u}.

Passo 3

Agora relaciono x e dx com u e du. A partir de \,u=1+x, tenho
x = u - 1
e diferenciando ambos os lados,
du = dx.
Portanto posso substituir x por u-1 e dx por du.

Passo 4

Faço a substituição na integral original. Substituindo x = u-1 e \sqrt{1+x}=\sqrt{u} e dx=du, obtenho
\int x^{2}\sqrt{1+x}\,dx = \int (u-1)^{2}\sqrt{u}\,du.

Passo 5

Expando (u-1)^{2} para poder integrar termo a termo:
(u-1)^{2} = u^{2} - 2u + 1.
Multiplicando por \sqrt{u}=u^{1/2}, fica
(u-1)^{2}\sqrt{u} = u^{2}\,u^{1/2} - 2u\,u^{1/2} + 1\cdot u^{1/2} = u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}.
Logo a integral passa a ser
\int (u-1)^{2}\sqrt{u}\,du = \int \bigl(u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 6

Vou usar a regra básica de potências para integrar: se n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui cada termo tem a forma u^{n} com n=5/2,\;3/2,\;1/2. Vou aplicar a fórmula termo a termo.

Passo 7

Integro cada termo:
  • Para u^{5/2}: n=5/2, então
\int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}\,u^{7/2}.
  • Para -2u^{3/2}: fatoro o -2 e integro u^{3/2} com n=3/2:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2},
portanto
\int -2u^{3/2}\,du = -2\cdot\frac{2}{5}\,u^{5/2} = -\frac{4}{5}\,u^{5/2}.
  • Para u^{1/2}: n=1/2,
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.

Passo 8

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, a primitiva em termos de u é
\frac{2}{7}\,u^{7/2} - \frac{4}{5}\,u^{5/2} + \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 9

Volto para a variável original usando u=1+x. Substituindo, a antiderivada em x fica
\frac{2}{7}\,(1+x)^{7/2} - \frac{4}{5}\,(1+x)^{5/2} + \frac{2}{3}\,(1+x)^{3/2} + C.

Resposta

\frac{2}{7}(1+x)^{7/2}-\frac{4}{5}(1+x)^{5/2}+\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}+C

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