Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos x d x
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas que são relevantes: a função integranda é
, ou seja,
multiplicada por
. A incógnita da integração é
. O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação importante (sem resolver ainda): quando a integranda tem uma função composta como
e junto aparece
, isso indica que a substituição
costuma simplificar bastante, porque a derivada de
é
. Não estou resolvendo ainda — só apontando o dado que vamos usar.
Passo 3
Escolhemos a substituição. Defina
Agora calculamos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Multiplicando por
ficamos com
Explicação didática:
é a variação infinitesimal de
quando
varia; escrever
é justamente a relação entre pequenas variações. Isso é o que nos permite trocar a variável de integração.
Passo 4
Reescrevemos a integral em termos de
. A parte
vira
e a parte
vira
. Então
Comentário didático: trocamos a expressão complicada em
por uma integral simples em
. Essa troca é válida porque fizemos a substituição e expressamos
via
.
Passo 5
Agora usamos a regra de potência para integrar
. A regra diz que, para
,
Aqui
. Aplicando a fórmula:
Explicação didática da regra de potência: é a antiderivada padrão de uma potência; você aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente. O
é a constante de integração, porque primitivas são definidas até uma constante.
Passo 6
Voltamos à variável original
(back-substitution). Lembrando que
, substituímos:
Pronto — essa é uma primitiva da integranda original.
Passo 7
Verificação (bom hábito para a prova): derivamos a resposta para ver se voltamos à integranda. Derivando
pelo Teorema da Cadeia:
o que coincide com a integranda. Portanto a primitiva está correta.