Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos x \, dx.
Informações dadas que são relevantes: a função integranda é \operatorname{sen}^{4} x \cos x, ou seja, \sin^4 x multiplicada por \cos x. A incógnita da integração é x. O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação importante (sem resolver ainda): quando a integranda tem uma função composta como \sin^4 x e junto aparece \cos x\,dx, isso indica que a substituição u=\sin x costuma simplificar bastante, porque a derivada de \sin x é \cos x. Não estou resolvendo ainda — só apontando o dado que vamos usar.

Passo 3

Escolhemos a substituição. Defina
u = \sin x.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = \cos x.
Multiplicando por dx ficamos com
du = \cos x \, dx.
Explicação didática: du é a variação infinitesimal de u quando x varia; escrever du=\cos x\,dx é justamente a relação entre pequenas variações. Isso é o que nos permite trocar a variável de integração.

Passo 4

Reescrevemos a integral em termos de u. A parte \sin^4 x vira u^4 e a parte \cos x\,dx vira du. Então
\int \sin^{4} x \cos x \, dx = \int u^{4} \, du.
Comentário didático: trocamos a expressão complicada em x por uma integral simples em u. Essa troca é válida porque fizemos a substituição e expressamos dx via du.

Passo 5

Agora usamos a regra de potência para integrar u^n. A regra diz que, para n \neq -1,
\int u^{n} \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=4. Aplicando a fórmula:
\int u^{4} \, du = \frac{u^{5}}{5} + C.
Explicação didática da regra de potência: é a antiderivada padrão de uma potência; você aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente. O +C é a constante de integração, porque primitivas são definidas até uma constante.

Passo 6

Voltamos à variável original x (back-substitution). Lembrando que u=\sin x, substituímos:
\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{\sin^{5} x}{5} + C.
Pronto — essa é uma primitiva da integranda original.

Passo 7

Verificação (bom hábito para a prova): derivamos a resposta para ver se voltamos à integranda. Derivando \frac{\sin^{5} x}{5} pelo Teorema da Cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin^{5} x}{5}\right) = \frac{1}{5}\cdot 5\sin^{4} x \cdot \cos x = \sin^{4} x \cos x,
o que coincide com a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{5} x}{5} + C

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