Resolva cada um dos P.V.I.s:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo e pede a solução
que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais:
com as condições
Lista das informações relevantes:
equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes;
condições iniciais em
.
A partir daqui vamos encontrar a solução que satisfaz tanto a equação quanto as condições iniciais.
A partir daqui vamos encontrar a solução que satisfaz tanto a equação quanto as condições iniciais.
Passo 2
Método escolhido e por quê: para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, o método padrão é tentar uma solução exponencial do tipo
. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica), que é muito mais simples de resolver. Vou aplicar essa ideia agora.
Passo 3
Assumimos
. Então
Substituindo na equação diferencial obtemos, ao fatorar
(que nunca é zero),
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la: o discriminante é
logo há uma raiz real dupla. A raiz é
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, as duas soluções linearmente independentes são
e
. Portanto a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos calcular
para aplicar as condições iniciais. Use a regra do produto: seja
e
. Então
e
. Assim
Fatorando
,
Passo 6
Aplique as condições iniciais.
Da condição
:
Da condição
:
portanto
.
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do P.V.I.:
Verificação rápida (opcional): calculando
e
e substituindo em
dá zero, logo a solução satisfaz a equação diferencial, e já verificamos as condições iniciais.