Resolva cada um dos P.V.I.s:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo e pede a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais:
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0,
com as condições
y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=1.
Lista das informações relevantes:
\;1) equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; \;2) condições iniciais em x=0.
A partir daqui vamos encontrar a solução que satisfaz tanto a equação quanto as condições iniciais.

Passo 2

Método escolhido e por quê: para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, o método padrão é tentar uma solução exponencial do tipo y=e^{rx}. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica), que é muito mais simples de resolver. Vou aplicar essa ideia agora.

Passo 3

Assumimos y=e^{rx}. Então
y^{\prime}=r e^{rx},\qquad y^{\prime\prime}=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial obtemos, ao fatorar e^{rx} (que nunca é zero),
r^{2}-4r+4=0.
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la: o discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 4 = 16-16=0,
logo há uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{4}{2}=2.

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções linearmente independentes são e^{rx} e x e^{rx}. Portanto a solução geral da equação homogênea é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos calcular y^{\prime}(x) para aplicar as condições iniciais. Use a regra do produto: seja u=C_{1}+C_{2}x e v=e^{2x}. Então u^{\prime}=C_{2} e v^{\prime}=2e^{2x}. Assim
y^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}=C_{2}e^{2x}+(C_{1}+C_{2}x)2e^{2x}.
Fatorando e^{2x},
y^{\prime}(x)=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}x\bigr)e^{2x}.

Passo 6

Aplique as condições iniciais.
Da condição y(0)=0:
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}=0.
Da condição y^{\prime}(0)=1:
y^{\prime}(0)=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=2C_{1}+C_{2}=0+C_{2}=1,
portanto C_{2}=1.

Passo 7

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=1 na solução geral, obtemos a solução particular do P.V.I.:
y(x)=x e^{2x}.
Verificação rápida (opcional): calculando y^{\prime}=e^{2x}+2x e^{2x} e y^{\prime\prime}=4e^{2x}+4x e^{2x} e substituindo em y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y dá zero, logo a solução satisfaz a equação diferencial, e já verificamos as condições iniciais.

Resposta

y(x)=x e^{2x}

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