Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int x e^{3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{3 x^{2}}\, dx.
Informações dadas: a função integranda é x e^{3 x^{2}}, a variável de integração é x e queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{3 x^{2}}. Não há limites de integração (é indefinida).

Passo 2

Ideia do Método da Substituição (explicação didática): quando temos uma função composta, como e^{3 x^{2}}, muitas vezes é útil trocar a parte complicada por uma nova variável, chamada u, que representa exatamente essa parte. Depois usamos a relação entre du e dx para reescrever todo o integrando em termos de u. Isso transforma a integral numa integral mais simples. Aqui vamos escolher a parte do expoente como substituição porque sua derivada aparece multiplicando o expoente (tem um x fora), ou seja, a derivada de 3x^{2} é proporcional a x.

Passo 3

Fazer a substituição: definimos
u = 3 x^{2}.
Agora calculamos o diferencial du. Usando a regra de derivação de potências, a derivada de 3x^{2} em relação a x é 6x. Então
du = 6x\, dx.
Isolamos x\,dx que aparece na integral original:
x\,dx = \frac{1}{6}\, du.
Agora reescrevemos a integral original em termos de u. Observamos que e^{3x^{2}} = e^{u} e x\,dx = \frac{1}{6}\, du. Portanto
\int x e^{3 x^{2}}\, dx = \int e^{u}\cdot\frac{1}{6}\, du.

Passo 4

Integrar em u: a integral ficou simples porque a antiderivada de e^{u} é e^{u}. Como há um fator constante \frac{1}{6}, podemos colocá-lo fora da integral:
\int e^{u}\cdot\frac{1}{6}\, du = \frac{1}{6}\int e^{u}\, du = \frac{1}{6} e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável original x: substituímos u = 3 x^{2} na primitiva obtida:
\frac{1}{6} e^{u} + C = \frac{1}{6} e^{3 x^{2}} + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando \frac{1}{6} e^{3 x^{2}} pelo x usando a regra da cadeia obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{6} e^{3 x^{2}}\right) = \frac{1}{6} e^{3 x^{2}}\cdot(6x) = x e^{3 x^{2}},
que é exatamente o integrando original. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{6} e^{3 x^{2}} + C

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