Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int x e^{3 x^{2}} d x
\int x e^{3 x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
, a variável de integração é
e queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há limites de integração (é indefinida).
Passo 2
Ideia do Método da Substituição (explicação didática): quando temos uma função composta, como
, muitas vezes é útil trocar a parte complicada por uma nova variável, chamada
, que representa exatamente essa parte. Depois usamos a relação entre
e
para reescrever todo o integrando em termos de
. Isso transforma a integral numa integral mais simples. Aqui vamos escolher a parte do expoente como substituição porque sua derivada aparece multiplicando o expoente (tem um
fora), ou seja, a derivada de
é proporcional a
.
Passo 3
Fazer a substituição: definimos
Agora calculamos o diferencial
. Usando a regra de derivação de potências, a derivada de
em relação a
é
. Então
Isolamos
que aparece na integral original:
Agora reescrevemos a integral original em termos de
. Observamos que
e
. Portanto
Passo 4
Integrar em
: a integral ficou simples porque a antiderivada de
é
. Como há um fator constante
, podemos colocá-lo fora da integral:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável original
: substituímos
na primitiva obtida:
Verificação rápida (útil na prova): derivando
pelo
usando a regra da cadeia obtemos
que é exatamente o integrando original. Isso confirma que a primitiva está correta.