Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{d t}{(2+t)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{d t}{(2+t)^{2}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é \dfrac{1}{(2+t)^{2}}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(t) tal que F'(t)=\dfrac{1}{(2+t)^{2}}.

Passo 2

Ideia do Método da Substituição (explicação didática): a técnica consiste em identificar uma “parte interna” da função que complica a integral (aqui, 2+t), trocar essa parte por uma nova variável (por exemplo u), expressar dt em termos de du e transformar a integral original numa integral mais simples em u. Depois integra-se usando regras básicas e volta-se à variável original. É como trocar uma peça difícil por outra mais simples para trabalhar.

Passo 3

Escolha da substituição: observe que o denominador é (2+t)^{2}. Faz sentido escolher
u = 2+t,
porque então a potência do denominador fica simplesmente u^{2}. Agora calculemos du.

Passo 4

Cálculo de du e expressão de dt: derivando u em relação a t obtemos
du = dt,
ou seja, dt = du. Essa igualdade acontece porque a derivada de 2+t é 1. Portanto podemos substituir diretamente 2+t por u e dt por du.

Passo 5

Reescrever a integral em u: aplicando a substituição, a integral fica
\int \frac{dt}{(2+t)^{2}} = \int \frac{du}{u^{2}}.
Para facilitar a integração, escrevemos u^{-2}:
\int \frac{du}{u^{2}} = \int u^{-2}\,du.

Passo 6

Integração usando a regra da potência (aula rápida): a regra diz que, para n \neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos n=-2. Aplicando a regra:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.

Passo 7

Voltar à variável t: substituindo u=2+t de volta, obtemos a primitiva em t:
- u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{2+t} + C.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta para checar,
\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2+t}\right) = -\frac{d}{dt}\big((2+t)^{-1}\big) = -\big(-1\big)(2+t)^{-2}\cdot 1 = \frac{1}{(2+t)^{2}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2+t}+C

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