Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{d t}{(2+t)^{2}}
\int \frac{d t}{(2+t)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Ideia do Método da Substituição (explicação didática): a técnica consiste em identificar uma “parte interna” da função que complica a integral (aqui,
), trocar essa parte por uma nova variável (por exemplo
), expressar
em termos de
e transformar a integral original numa integral mais simples em
. Depois integra-se usando regras básicas e volta-se à variável original. É como trocar uma peça difícil por outra mais simples para trabalhar.
Passo 3
Escolha da substituição: observe que o denominador é
. Faz sentido escolher
porque então a potência do denominador fica simplesmente
. Agora calculemos
.
Passo 4
Cálculo de
e expressão de
: derivando
em relação a
obtemos
ou seja,
. Essa igualdade acontece porque a derivada de
é
. Portanto podemos substituir diretamente
por
e
por
.
Passo 5
Reescrever a integral em
: aplicando a substituição, a integral fica
Para facilitar a integração, escrevemos
:
Passo 6
Integração usando a regra da potência (aula rápida): a regra diz que, para
,
Aqui temos
. Aplicando a regra:
Passo 7
Voltar à variável
: substituindo
de volta, obtemos a primitiva em
:
Passo 8
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta para checar,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva encontrada está correta.