Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int 2{x{2}+1} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx.
Informações dadas: a função integranda é 2^{x^{2}+1} multiplicada por x. Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida). O objetivo é encontrar uma antiderivada (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda) usando o método da substituição.

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática): quando vimos um produto do tipo “função composta” vezes a parte da derivada dessa função composta, a substituição simplifica. Aqui a parte óbvia para tentar é a expressão dentro do expoente x^{2}+1; se fizermos
u = x^{2}+1,
então a expressão dentro da potência \,2^{(\cdot)}, fica simplesmente 2^{u}. A substituição serve para trocar a variável de integração x por u, transformando a integral em algo mais simples.

Passo 3

Calcular o diferencial du: derivando u em relação a x temos
\frac{du}{dx} = 2x.
Isso significa que
du = 2x\,dx.
Queremos substituir x\,dx presente na integral. Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{du}{2}.
Aqui explico: du=2x\,dx é a relação que permite trocar o pedaço x\,dx por \frac{du}{2} dentro da integral.

Passo 4

Fazer a substituição na integral: trocando x^{2}+1 por u e x\,dx por \frac{du}{2}, a integral original
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx
fica
\int 2^{u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 2^{u}\,du.
Agora temos uma integral padrão \int 2^{u}\,du. Vou ensinar a fórmula para integrar potências de base constante: se a>0 e a\neq 1, então
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C,
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Explicando por que: \frac{d}{du}\big(a^{u}\big) = a^{u}\ln a. Então para obter uma primitiva de a^{u} dividimos por \ln a.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso a=2: temos
\int 2^{u}\,du = \frac{2^{u}}{\ln 2} + C.
Portanto
\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{u}}{\ln 2} + C = \frac{2^{u}}{2\ln 2} + C.
Aqui C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x: lembrando que u = x^{2}+1, substituímos de volta:
\frac{2^{u}}{2\ln 2} + C = \frac{2^{x^{2}+1}}{2\ln 2} + C.
Podemos simplificar um pouco a expressão usando 2^{x^{2}+1}=2\cdot 2^{x^{2}}. Assim
\frac{2^{x^{2}+1}}{2\ln 2} = \frac{2\cdot 2^{x^{2}}}{2\ln 2} = \frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}.
Essa forma final costuma ficar mais enxuta.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando \frac{2^{x^{2}}}{\ln 2} obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}\right) = \frac{1}{\ln 2}\cdot 2^{x^{2}}\cdot \ln 2 \cdot 2x = 2^{x^{2}}\cdot 2x = 2^{x^{2}+1}x,
que é exatamente a integranda. A verificação confirma que a primitiva está correta. Boa!

Resposta

\displaystyle \frac{2^{x^{2}}}{\ln 2} + C

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