Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int 2{x{2}+1} x d x
\int 2{x{2}+1} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função integranda é
multiplicada por
. Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida). O objetivo é encontrar uma antiderivada (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda) usando o método da substituição.
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática): quando vimos um produto do tipo “função composta” vezes a parte da derivada dessa função composta, a substituição simplifica. Aqui a parte óbvia para tentar é a expressão dentro do expoente
; se fizermos
então a expressão dentro da potência
, fica simplesmente
. A substituição serve para trocar a variável de integração
por
, transformando a integral em algo mais simples.
Passo 3
Calcular o diferencial
: derivando
em relação a
temos
Isso significa que
Queremos substituir
presente na integral. Isolando
obtemos
Aqui explico:
é a relação que permite trocar o pedaço
por
dentro da integral.
Passo 4
Fazer a substituição na integral: trocando
por
e
por
, a integral original
fica
Agora temos uma integral padrão
. Vou ensinar a fórmula para integrar potências de base constante: se
e
, então
onde
é o logaritmo natural de
. Explicando por que:
. Então para obter uma primitiva de
dividimos por
.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso
: temos
Portanto
Aqui
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
: lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos simplificar um pouco a expressão usando
. Assim
Essa forma final costuma ficar mais enxuta.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
que é exatamente a integranda. A verificação confirma que a primitiva está correta. Boa!