Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int 8 x \sqrt{1-2 x^{2}} d x
\int 8 x \sqrt{1-2 x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o Método da Substituição. Dados importantes que o enunciado fornece:
- A integranda é
. - Dentro da raiz aparece a expressão
, que é uma função composta (uma função dentro de outra). - Há um fator
multiplicando essa raiz, o que sugere que a derivada da expressão dentro da raiz pode aparecer ao fazer a substituição.
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática e escolha): quando temos uma composição como
e simultaneamente um fator que se parece com a derivada da parte interna (aqui
), é natural tentar colocar a parte interna como nova variável. Vamos definir
Agora calculamos
, que é a diferencial dessa nova variável:
Isto nos diz como substituir
em termos de
. Isolando
,
Passo 3
Substituição completa na integral: reescrevemos
como
e substituímos
usando
. Primeiro transformamos
:
Portanto a integral original fica
Passo 4
Integração em
(lembrando a fórmula de potência): usamos a fórmula
Aqui
. Então
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável
: substituímos
de volta para escrever a primitiva em função de
:
Passo 6
Verificação rápida por derivação (checagem): derivamos a resposta para confirmar que dá a integranda. Seja
Pela regra da cadeia,
Calculando os fatores numéricos:
, então
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova (como reconhecer rapidamente a substituição): quando vês algo do tipo
— aqui
e
— dá para escolher
. Se falta apenas um coeficiente numérico (aqui tínhamos
em vez de
), ajusta-se pelo fator constante durante a substituição. Exemplo rápido: para
escolhe-se
e segue o mesmo processo.