Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int 8 x \sqrt{1-2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 8x\sqrt{1-2x^{2}}\,dx
usando o Método da Substituição. Dados importantes que o enunciado fornece:
  • A integranda é 8x\sqrt{1-2x^{2}}.
  • Dentro da raiz aparece a expressão 1-2x^{2}, que é uma função composta (uma função dentro de outra).
  • Há um fator x multiplicando essa raiz, o que sugere que a derivada da expressão dentro da raiz pode aparecer ao fazer a substituição.

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática e escolha): quando temos uma composição como \sqrt{1-2x^{2}} e simultaneamente um fator que se parece com a derivada da parte interna (aqui x), é natural tentar colocar a parte interna como nova variável. Vamos definir
u = 1-2x^{2}.
Agora calculamos du, que é a diferencial dessa nova variável:
du = d(1-2x^{2}) = -4x\,dx.
Isto nos diz como substituir x\,dx em termos de du. Isolando x\,dx,
x\,dx = -\frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituição completa na integral: reescrevemos \sqrt{1-2x^{2}} como \sqrt{u}=u^{1/2} e substituímos 8x\,dx usando x\,dx = -\frac{1}{4}du. Primeiro transformamos 8x\,dx:
8x\,dx = 8\left(x\,dx\right)=8\left(-\frac{1}{4}du\right)=-2\,du.
Portanto a integral original fica
\int 8x\sqrt{1-2x^{2}}\,dx = \int -2\,u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integração em u (lembrando a fórmula de potência): usamos a fórmula
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\quad\text{para } n\neq -1.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator -2 que estava fora da integral,
\int -2\,u^{1/2}\,du = -2\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = -\frac{4}{3}u^{3/2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x: substituímos u = 1-2x^{2} de volta para escrever a primitiva em função de x:
-\frac{4}{3}u^{3/2}+C = -\frac{4}{3}\bigl(1-2x^{2}\bigr)^{3/2}+C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (checagem): derivamos a resposta para confirmar que dá a integranda. Seja
F(x) = -\frac{4}{3}\bigl(1-2x^{2}\bigr)^{3/2}.
Pela regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\bigl(1-2x^{2}\bigr)^{1/2}\cdot (-4x).
Calculando os fatores numéricos: -\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2} = -2, então
F'(x) = -2\bigl(1-2x^{2}\bigr)^{1/2}\cdot(-4x) = 8x\bigl(1-2x^{2}\bigr)^{1/2},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova (como reconhecer rapidamente a substituição): quando vês algo do tipo f'(x)\cdot g(f(x)) — aqui f(x)=1-2x^{2} e f'(x)=-4x — dá para escolher u=f(x). Se falta apenas um coeficiente numérico (aqui tínhamos 8x em vez de -4x), ajusta-se pelo fator constante durante a substituição. Exemplo rápido: para \int x(1+x^{2})^{5}dx escolhe-se u=1+x^{2} e segue o mesmo processo.

Resposta

-\frac{4}{3}\bigl(1-2x^{2}\bigr)^{3/2}+C

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