Calcule as integrais a seguir usando a transformação de funções racionais em funções parciais
integral x^3+2(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^3+2(x-1)^2,dx usando decomposição em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de integração de funções racionais, em que primeiro precisamos transformar a fração imprópria numa soma de termos mais simples (divisão de polinômios) e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), aplicamos divisão polinomial:
x^3+2(x-1)^2 = x+2 + 3x(x-1)^2
Com isso, a integral vira
integral x^3+2(x-1)^2,dx = integral (x+2),dx + integral 3x(x-1)^2,dx
Para a primeira parte, integramos direto:
integral (x+2),dx = x^22 + 2x

Passo 3

Na segunda parte, fazemos a substituição u = x-1, logo x = u+1 e dx = du. Assim
integral 3x(x-1)^2,dx = 3integral u+1u^2,du = 3integral l(1u + u^-2r),du
Integramos termo a termo:
$$
3\int \frac1u,du = 3\ln|u|,
\qquad
3\int u^{-2},du = -\frac{3}{u}.
3integral 1u,du = 3ln|u|, 3integral u^-2,du = -3u
3\ln|x-1| - \frac{3}{x-1}.
$$

Passo 4

Juntando tudo e acrescentando a constante (+C), temos a primitiva completa.

Resposta

x^22 + 2x + 3ln|x-1| - 3x-1 + C

Exercícios relacionados