Calcule as integrais a seguir usando a transformação de funções racionais em funções parciais
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando decomposição em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de integração de funções racionais, em que primeiro precisamos transformar a fração imprópria numa soma de termos mais simples (divisão de polinômios) e depois integrar cada termo separadamente.
Passo 2
Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), aplicamos divisão polinomial:
Com isso, a integral vira
Para a primeira parte, integramos direto:
Passo 3
Na segunda parte, fazemos a substituição
, logo
e
. Assim
Integramos termo a termo:
$$
3\int \frac1u,du = 3\ln|u|,
\qquad
3\int u^{-2},du = -\frac{3}{u}.
\qquad
3\int u^{-2},du = -\frac{3}{u}.
3\ln|x-1| - \frac{3}{x-1}.
$$
Passo 4
Juntando tudo e acrescentando a constante (+C), temos a primitiva completa.