Descreva as curvas de nível de cada função, correspondentes aos níveis
dados:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função matemática
e queremos descrever as curvas de nível para os valores de
. As curvas de nível nos mostram onde a função assume constantemente um determinado valor
, e isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de gráficos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para encontrar as curvas de nível, vamos definir
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso significa que para cada valor de
, teremos uma relação entre
e
que forma uma curva no plano.
Passo 3
Vamos examinar o que a equação
representa geometricamente. Essa é a equação de uma hipérbole. Dependendo do valor de
, a hipérbole terá diferentes posições e formas.
Passo 4
Vamos analisar cada valor de
:
- Para
:
Esta é uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes.
- Para
:
Aqui, a hipérbole tem ramos no segundo e quarto quadrantes.
- Para
:
Semelhante ao caso de
, mas mais afastada da origem.
- Para
:
Semelhante ao caso de
, mas mais afastada da origem.
- Para
:
Novamente, uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes, ainda mais afastada da origem.
- Para
:
Hipérbole com ramos no segundo e quarto quadrantes, mais afastada da origem.
Passo 5
Resumindo, todas essas equações representam hipérboles que se diferenciam pelo valor de
. Quanto maior o valor absoluto de
, mais a hipérbole se afasta da origem. Além disso, o sinal de
determina em quais quadrantes os ramos da hipérbole estarão localizados.
Resposta
As curvas de nível da função
para os valores
são hipérboles. Para cada
:
- Se
, a hipérbole tem ramos nos quadrantes I e III. - Se
, a hipérbole tem ramos nos quadrantes II e IV.
Além disso, à medida que o valor absoluto de
aumenta (
para
para
), as hipérboles se afastam da origem.