Descreva as curvas de nível de cada função, correspondentes aos níveis c dados:
f(x, y)=x y c= pm 1, pm 3, pm 6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função matemática e queremos descrever as curvas de nível para os valores de . As curvas de nível nos mostram onde a função assume constantemente um determinado valor , e isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de gráficos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para encontrar as curvas de nível, vamos definir x cdot y = c . Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso significa que para cada valor de , teremos uma relação entre e que forma uma curva no plano.

Passo 3

Vamos examinar o que a equação representa geometricamente. Essa é a equação de uma hipérbole. Dependendo do valor de , a hipérbole terá diferentes posições e formas.

Passo 4

Vamos analisar cada valor de x cdot y = 1 :
  • Para x cdot y = -1 :
x cdot y = 3
Esta é uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes.
  • Para x cdot y = -3 :
x cdot y = 6
Aqui, a hipérbole tem ramos no segundo e quarto quadrantes.
  • Para x cdot y = -6 :
Semelhante ao caso de , mas mais afastada da origem.
  • Para :
Semelhante ao caso de , mas mais afastada da origem.
  • Para :
Novamente, uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes, ainda mais afastada da origem.
  • Para :
Hipérbole com ramos no segundo e quarto quadrantes, mais afastada da origem.

Passo 5

Resumindo, todas essas equações representam hipérboles que se diferenciam pelo valor de . Quanto maior o valor absoluto de , mais a hipérbole se afasta da origem. Além disso, o sinal de determina em quais quadrantes os ramos da hipérbole estarão localizados.

Resposta

As curvas de nível da função para os valores são hipérboles. Para cada :
  • Se , a hipérbole tem ramos nos quadrantes I e III.
  • Se , a hipérbole tem ramos nos quadrantes II e IV.
Além disso, à medida que o valor absoluto de aumenta ( para para ), as hipérboles se afastam da origem.

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