Calcule as integrais a seguir usando a transformação de funções racionais em funções parciais
integral x^2+2x^2-3 x+2 d x

Passo 1

A questão é calcular integral x^2+2x^2-3x+2,dx. O conteúdo é integração de função racional por frações parciais; vamos precisar fatorar o denominador, fazer divisão de polinômios (se o grau do numerador não for menor que o do denominador) e depois decompor em frações simples.

Passo 2

Como o grau do numerador (2) é igual ao do denominador (2), fazemos a divisão:
x^2+2x^2-3x+2=1+x^2+2-(x^2-3x+2)x^2-3x+2=1+3x(x-1)(x-2)
Agora decomponha tfrac3x(x-1)(x-2) em frações parciais:
3x(x-1)(x-2)=Ax-1+Bx-2, com 3x=A(x-2)+B(x-1). Igualando coeficientes obtemos o sistema
$$
A+B=3,$$
$$
-2A - B=0, A+B=3,çãé\frac{3x}{(x-1)(x-2)}=-\frac{3}{x-1}+\frac{6}{x-2}.$$

Passo 3

Integramos então termo a termo:
integral1,dx=x,
integrall(-3x-1r)dx=-3ln|x-1|,
integral6x-2dx=6ln|x-2|
Somando tudo e adicionando a constante de integração, chegamos ao resultado final.

Resposta

x - 3,\ln|x-1| + 6,\ln|x-2| + C

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