Calcule as integrais a seguir utilizando substituição trigonométrica.
integral d xraiz4 x^2+9

Passo 1

Neste exercício vamos calcular integral dxraiz4x^2+9 usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integração de funções com radicais quadráticos, e vamos usar a identidade 1+tan^2theta=sec^2theta para facilitar.

Passo 2

Para eliminar o radical, escolhemos a substituição x=32tantheta, pois isso transforma 4x^2+9 em múltiplo de sec^2theta. Com essa escolha temos:
x=32tantheta, dx=32sec^2theta,dtheta, raiz4x^2+9=3sectheta

Passo 3

Substituindo no integral, obtemos:
integral dxraiz4x^2+9 =integral tfrac32sec^2theta,dtheta3sectheta =12integral sectheta,dtheta

Passo 4

Agora usamos a primitiva de sectheta, que é integralsectheta,dtheta=lnl|sectheta+tanthetar|+C. Assim:
12integral sectheta,dtheta =12lnl|sectheta+tanthetar|+C

Passo 5

Voltando para x, sabemos que tantheta=tfrac2x3 e sectheta=tfracraiz4x^2+93. Logo:
sectheta+tantheta =raiz4x^2+93+2x3 =raiz4x^2+9+2x3
O termo ln3 se incorpora à constante de integração.

Resposta

tfrac12lnl|raiz4x^2+9+2xr|+C

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