Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
o) \int x^{n-1} \sqrt{a+b x^{n}} d x, sendo a, b e n constantes não nulas

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{n-1}\sqrt{a + b\,x^{n}}\;dx
usando a regra da substituição. Aqui a, b e n são constantes não nulas. O conteúdo é integração por substituição, onde vamos trocar a expressão sob a raiz por uma nova variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = a + b\,x^{n}.
Derivando, obtemos
dt = b\,n\,x^{n-1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{n-1}\,dx = \frac{dt}{b\,n}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{n-1}\sqrt{a + b\,x^{n}}\;dx = \int \sqrt{t}\,\frac{dt}{b\,n} = \frac{1}{b\,n}\int t^{\tfrac12}\,dt.

Passo 4

Integramos em t:
\int t^{\tfrac12}\,dt = \frac{t^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32}.
Logo,
\frac{1}{b\,n}\int t^{\tfrac12}\,dt = \frac{1}{b\,n}\cdot\frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} = \frac{2}{3\,b\,n}\,t^{\tfrac32}.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos t = a + b\,x^{n} e acrescentamos a constante de integração C:

Resposta

\boxed{ \int x^{n-1}\sqrt{a + b\,x^{n}}\;dx = \frac{2}{3\,b\,n}\,\bigl(a + b\,x^{n}\bigr)^{\tfrac32} + C. }

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