Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
n) \int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx
usando a regra da substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição, em que identificamos uma parte da função cuja derivada aparece multiplicando-a.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 16 - x^2, \quad du = -2x\,dx, \quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Quando x = 0, temos u = 16. Quando x = \sqrt{15}, temos u = 16 - 15 = 1. Logo, a integral original vira
\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx = \int_{16}^{1} \frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac{1}{2}\int_{16}^{1} u^{-\tfrac{1}{2}}\,du.
Invertemos os limites para ficar positivo:
-\tfrac{1}{2}\int_{16}^{1} u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{16} u^{-\tfrac{1}{2}}\,du.

Passo 3

Calculamos a integral de u^{-\tfrac{1}{2}}:
\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = 2\,u^{\tfrac{1}{2}}.
Assim,
\tfrac{1}{2}\int_{1}^{16} u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[2\,u^{\tfrac{1}{2}}\bigr]_{1}^{16} = \bigl[u^{\tfrac{1}{2}}\bigr]_{1}^{16} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3.

Resposta

3

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