Calcule as integrais a seguir utilizando somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, tente dar uma interpretação em termos de áreas para o resultado: integral0^1(x-1) d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral definida de f(x)=x−1 no intervalo [0,1] usando somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos lembrar da definição de integral como limite de somas de Riemann e de como usar uma primitiva para avaliar a integral. Geometricamente, vamos interpretar o resultado em termos de área entre a curva de f(x)=x−1 e o eixo x.

Passo 2

Para a soma de Riemann, particionamos [0,1] em n subintervalos de largura De. Tomamos os pontos à direita xi= in. A soma de Riemann é
Sn=sumi=1^n f(xi),De

Passo 3

Separamos a soma:
Sn=1n^2sumi=1^n i-1nsumi=1^n1 =1n^2cdotn(n+1)2-1 =n+12n-1 =-12+12n
No limite ntoinfty, 12nto0, logo
limntoinftySn=-tfrac12

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, escolhemos uma primitiva de f(x)=x−1. Uma escolha conveniente é
F(x)=x^22-x
Então
integral0^1(x-1),dx=F(1)-F(0)=l(tfrac12-1r)-(0-0)=-tfrac12

Passo 5

No plano, o gráfico de f(x)=x−1 em [0,1] é uma reta que vai de f(0)=-1 até f(1)=0. A região sob a curva forma um triângulo de base 1 e altura 1, cuja área é 1cdot12=tfrac12. Como está abaixo do eixo x, a integral fica negativa, confirmando o valor -\tfrac12.

Resposta

-1/2

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