Calcule as integrais a seguir utilizando somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, tente dar uma interpretação em termos de áreas para o resultado:
Passo 1
Neste exercício vamos calcular a integral definida de f(x)=x−1 no intervalo [0,1] usando somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos lembrar da definição de integral como limite de somas de Riemann e de como usar uma primitiva para avaliar a integral. Geometricamente, vamos interpretar o resultado em termos de área entre a curva de f(x)=x−1 e o eixo x.
Passo 2
Para a soma de Riemann, particionamos [0,1] em n subintervalos de largura
. Tomamos os pontos à direita
. A soma de Riemann é
Passo 3
Separamos a soma:
No limite
,
, logo
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, escolhemos uma primitiva de f(x)=x−1. Uma escolha conveniente é
Então
Passo 5
No plano, o gráfico de f(x)=x−1 em [0,1] é uma reta que vai de f(0)=-1 até f(1)=0. A região sob a curva forma um triângulo de base 1 e altura 1, cuja área é
. Como está abaixo do eixo x, a integral fica negativa, confirmando o valor -\tfrac12.
Resposta
-1/2