Determine as ordens de cada um dos elementos do grupo (Z12,+). (1,0 ponto)

Passo 1

A questão pede para determinar a ordem de cada elemento do grupo l( Z12,+r). O conteúdo é ordem de elemento em grupo cíclico e vamos precisar da definição de ordem e da fórmula que, em Zn, diz que ord([a])=dfracngcd(a,n).

Passo 2

Em grupos abelianos finitos, a ordem de um elemento [a] é o menor k>0 tal que k,[a]=[0]. Em Z12, isso significa k,aequiv 0pmod12.
Para agilizar o cálculo, usamos a propriedade de grupos cíclicos: em Zn, vale ord([a])=dfracngcd(a,n). Aqui n=12.

Passo 3

Agora aplicamos ord([a])=dfrac12gcd(a,12) para cada a=0,1,2,dots,11:
Calculamos gcd(a,12) e a ordem:
a=0:;gcd(0,12)=12implies ord([0])=tfrac1212=1
a=1:;gcd(1,12)=1implies ord([1])=tfrac121=12
a=2:;gcd(2,12)=2implies ord([2])=tfrac122=6
a=3:;gcd(3,12)=3implies ord([3])=tfrac123=4
a=4:;gcd(4,12)=4implies ord([4])=tfrac124=3
a=5:;gcd(5,12)=1implies ord([5])=tfrac121=12
a=6:;gcd(6,12)=6implies ord([6])=tfrac126=2
a=7:;gcd(7,12)=1implies ord([7])=tfrac121=12
a=8:;gcd(8,12)=4implies ord([8])=tfrac124=3
a=9:;gcd(9,12)=3implies ord([9])=tfrac123=4
a=10:;gcd(10,12)=2implies ord([10])=tfrac122=6
$a=11:;\gcd(11,12)=1\implies \mathrm{ord}([11])=\tfrac{12}{1}=12

Resposta

As ordens em Z12 são:
[0]→1, [1]→12, [2]→6, [3]→4, [4]→3, [5]→12, [6]→2, [7]→12, [8]→3, [9]→4, [10]→6, [11]→12.

Exercícios relacionados