Determine as ordens de cada um dos elementos do grupo
. (1,0 ponto)
Passo 1
A questão pede para determinar a ordem de cada elemento do grupo
. O conteúdo é ordem de elemento em grupo cíclico e vamos precisar da definição de ordem e da fórmula que, em
, diz que
.
Passo 2
Em grupos abelianos finitos, a ordem de um elemento
é o menor
tal que
. Em
, isso significa
.
Para agilizar o cálculo, usamos a propriedade de grupos cíclicos: em , vale
. Aqui
.
Para agilizar o cálculo, usamos a propriedade de grupos cíclicos: em
Passo 3
Agora aplicamos
para cada
:
Calculamos e a ordem:
$a=11:;\gcd(11,12)=1\implies \mathrm{ord}([11])=\tfrac{12}{1}=12
Calculamos
$a=11:;\gcd(11,12)=1\implies \mathrm{ord}([11])=\tfrac{12}{1}=12
Resposta
As ordens em
são:
[0]→1, [1]→12, [2]→6, [3]→4, [4]→3, [5]→12, [6]→2, [7]→12, [8]→3, [9]→4, [10]→6, [11]→12.
[0]→1, [1]→12, [2]→6, [3]→4, [4]→3, [5]→12, [6]→2, [7]→12, [8]→3, [9]→4, [10]→6, [11]→12.