Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
y^prime(t)+3t y(t)=t^2

Passo 1

Resumindo, temos a EDO de 1ª ordem y'(t)+tfrac3ty(t)=t^2. O conteúdo é resolução de EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Comparando com a forma padrão y'+p(t)y=q(t), identificamos p(t)=tfrac3t e q(t)=t^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral tfrac3tdt=e^3ln|t|=t^3, assumindo t>0.

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(t): obtemos
t^3y'(t)+3t^2y(t)=t^5
O lado esquerdo é exatamente a derivada de t^3y(t), ou seja, tfracddt(t^3y(t)).

Passo 5

Integramos ambos os lados:
ddt(t^3y(t))=t^5Longrightarrow t^3y(t)=integral t^5,dt=t^66+C

Passo 6

Por fim, isolamos y(t):
y(t)=t^6/6+Ct^3=t^36+Ct^-3

Resposta

y(t)=t^36+Ct^-3

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