Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
y^prime(t)+e^t y(t)=-2 e^t

Passo 1

A equação dada é y'(t)+e^ty(t)=-2e^t, que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que transforma o lado esquerdo numa derivada de produto.

Passo 2

Identificamos p(t)=e^t e q(t)=-2e^t. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral e^t,dtr)=expl(e^tr)=e^e^tEle serve para que mu(t)l(y'(t)+p(t)y(t)r)=ddt[mu(t)y(t)].

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(t)=e^e^t e obtemos
ddtl(e^e^ty(t)r)=e^e^tl(-2e^tr)=-2e^te^e^t
Agora integramos ambos os lados. Fazendo a substituição v=e^t implica dv=e^tdt, então
integral -2e^te^e^t,dt=integral -2e^v,dv=-2e^v+C=-2e^e^t+C
Logo,
e^e^ty(t)=-2e^e^t+C

Passo 4

Para isolar y(t), dividimos por e^e^t:
y(t)=-2e^e^t+Ce^e^t=-2+Ce^-e^tEssa expressão é a solução geral da equação original.

Resposta

y(t)=-2+Ce^-e^t

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