Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) x y y^2+y^23 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x,y,y^2+y^23x^2+y^2=x,y^3+y^23x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos precisar verificar se o valor depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Para investigar dependência de caminho, fazemos a substituição linear y=m,x, onde m é constante. Substituindo em f(x,y) temos:
x,(m x)^3 + (m x)^23x^2 + (m x)^2 =m^3x^4 + m^2x^2(3+m^2)x^2 =m^3x^2 + m^23+m^2

Passo 3

Ao fazer xto0, o termo m^3x^2 some e o limite ao longo desse caminho é
m^23+m^2
Como depende de m, o valor varia conforme o caminho.

Passo 4

Por exemplo, se m=0 (ou seja, y=0) o limite vale 0, mas se m=1 (ou seja, y=x) o limite vale 1/(3+1)=1/4. Como dois caminhos dão resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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