Descreva as curvas de nível de cada função, correspondentes aos níveis
dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descrevermos as curvas de nível da função
para os valores de
,
e
. A matéria que estamos usando aqui é o estudo de funções de duas variáveis e suas curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para um valor
é definida por
. Então, vamos igualar a função a cada valor de
dado e resolver para
e
.
Passo 3
Vamos começar com
. Temos:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Igualamos a função a 3:
Elevando ao quadrado:
Rearranjando:
Essa também é a equação de um círculo com centro na origem, mas agora com raio
.
Passo 5
Por último, para
, temos:
Elevando ao quadrado:
Simplificando:
A única solução para essa equação é
e
, ou seja, apenas o ponto
.
Resposta
As curvas de nível são:
- Para
: um círculo de raio centrado na origem. - Para
: um círculo de raio centrado na origem. - Para
: apenas o ponto .