Descreva as curvas de nível de cada função, correspondentes aos níveis c dados:
f(x, y)=raiz25-x^2-y^2 c=0, c=3, c=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descrevermos as curvas de nível da função para os valores de , e . A matéria que estamos usando aqui é o estudo de funções de duas variáveis e suas curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para um valor é definida por . Então, vamos igualar a função a cada valor de dado e resolver para e .

Passo 3

Vamos começar com raiz25 - x^2 - y^2 = 0 . Temos:
25 - x^2 - y^2 = 0
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = 25
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio .

Passo 4

Agora, vamos para raiz25 - x^2 - y^2 = 3 . Igualamos a função a 3:
25 - x^2 - y^2 = 9
Elevando ao quadrado:
x^2 + y^2 = 16
Rearranjando:
Essa também é a equação de um círculo com centro na origem, mas agora com raio .

Passo 5

Por último, para raiz25 - x^2 - y^2 = 5 , temos:
25 - x^2 - y^2 = 25
Elevando ao quadrado:
x^2 + y^2 = 0
Simplificando:
A única solução para essa equação é e , ou seja, apenas o ponto .

Resposta

As curvas de nível são:
  • Para : um círculo de raio centrado na origem.
  • Para : um círculo de raio centrado na origem.
  • Para : apenas o ponto .

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