Calcule as integrais a seguir e depois, verifique sua resposta por derivação
integral e^5 x d x;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral e^5x,dx, que envolve a integração de uma função exponencial composta. Vamos usar a técnica de substituição para inverter a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a substituição u = 5x. Então du = 5,dx, de onde dx = du5. Substituindo na integral original, temos
integral e^5x,dx = integral e^u cdot du5 = 15 integral e^u,du

Passo 3

Agora integramos em u:
15 integral e^u,du = 15 e^u + C

Passo 4

Voltando à variável x, obtemos
15 e^5x + C

Passo 5

Para verificar, derivamos 15 e^5x + C. Pela regra da cadeia:
ddxl(tfrac15 e^5xr) = tfrac15 cdot e^5x cdot 5 = e^5x
A derivada coincide com o integrando, confirmando que o resultado está correto.

Resposta

15e^5x + C

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