Teste a série quanto a convergência ou divergência:
sumn=2^infty(2 nn+1)^5 n.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos a partir de n=2 dada por an=l(tfrac2nn+1r)^5n. Vamos usar o teste da raiz n-ésima, que é eficaz quando a sequência envolve potências com expoente dependente de n.

Passo 2

O teste da raiz n-ésima diz que, se definirmos L=limntoinftyraiz[n]an, então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Aplicando o teste, temos
raiz[n]an=raiz[n]l(tfrac2nn+1r)^5n=l(tfrac2nn+1r)^5

Passo 4

Calculamos o limite da base: limntoinfty2nn+1=2 Portanto,
L=limntoinftyl(tfrac2nn+1r)^5=2^5=32

Passo 5

Como L=32>1, o teste da raiz indica que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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