Calcule as integrais solicitadas:
(1 ponto)
;
(1 ponto)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
Informações dadas e o que se busca:
- Integrando:
. - Variável de integração:
. - Resultado esperado: uma primitiva (antiderivada) da função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em soma de cossenos, porque somas são muito mais fáceis de integrar termo a termo. A identidade é
Breve explicação de onde vem essa identidade (sem pular etapas): partindo das fórmulas de cosseno da soma e da diferença,
Subtraindo as duas igualdades:
logo
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso integrando com
e
:
Portanto a integral fica
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Lembrete rápido: a primitiva de
é
, porque derivando
aparece um fator
que cancela. Assim,
e
Passo 5
Juntando os termos e lembrando da constante de integração
, obtemos a primitiva:
Checagem rápida (opcional mas reconfortante): derivando o resultado volta-se ao integrando,
o que confirma que a primitiva está correta.