Calcule as integrais solicitadas:
(1 ponto) \int \operatorname{sen} 4 \theta \operatorname{sen} \theta d \theta;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int \sin(4\theta)\,\sin(\theta)\,d\theta.
Informações dadas e o que se busca:
  • Integrando: \sin(4\theta)\sin(\theta).
  • Variável de integração: \theta.
  • Resultado esperado: uma primitiva (antiderivada) da função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em soma de cossenos, porque somas são muito mais fáceis de integrar termo a termo. A identidade é
\sin A\,\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).
Breve explicação de onde vem essa identidade (sem pular etapas): partindo das fórmulas de cosseno da soma e da diferença,
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B, \qquad \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Subtraindo as duas igualdades:
\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin A\sin B,
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\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso integrando com A=4\theta e B=\theta:
\sin(4\theta)\sin(\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(4\theta-\theta)-\cos(4\theta+\theta)\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(3\theta)-\cos(5\theta)\bigr).
Portanto a integral fica
\int \sin(4\theta)\sin(\theta)\,d\theta =\int \tfrac{1}{2}\cos(3\theta)\,d\theta-\int \tfrac{1}{2}\cos(5\theta)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembrete rápido: a primitiva de \cos(k\theta) é \dfrac{1}{k}\sin(k\theta), porque derivando \sin(k\theta) aparece um fator k que cancela. Assim,
\int \tfrac{1}{2}\cos(3\theta)\,d\theta=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\sin(3\theta)=\frac{1}{6}\sin(3\theta),
e
\int \tfrac{1}{2}\cos(5\theta)\,d\theta=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\sin(5\theta)=\frac{1}{10}\sin(5\theta).

Passo 5

Juntando os termos e lembrando da constante de integração C, obtemos a primitiva:
\int \sin(4\theta)\sin(\theta)\,d\theta=\frac{1}{6}\sin(3\theta)-\frac{1}{10}\sin(5\theta)+C.
Checagem rápida (opcional mas reconfortante): derivando o resultado volta-se ao integrando,
\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{1}{6}\sin(3\theta)-\frac{1}{10}\sin(5\theta)\right) =\tfrac{1}{2}\cos(3\theta)-\tfrac{1}{2}\cos(5\theta) =\sin(4\theta)\sin(\theta),
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{6}\sin(3\theta)-\dfrac{1}{10}\sin(5\theta)+C

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