Encontre a função definida por meio de Série de potências que satisfaz as seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}+y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função definida por meio de série de potências que satisfaça a equação
y''+y=0
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas:
  • A EDO é \,y''+y=0.
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=1.
  • Deve-se buscar a solução na forma de série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e simples):
  • Vamos supor que a solução possa ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar a partir da equação diferencial e das condições iniciais. Isso é natural quando se pede “série de potências”.

Passo 3

Derivadas da série (passo a passo):
  • Derivando termo a termo, obtemos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}.
  • Derivando novamente,
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Para somar com a série de y é conveniente reindexar y'' para potências x^n. Fazendo n\mapsto n+2 na soma de y'',
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.

Passo 4

Substituição na equação e combinação de termos semelhantes:
  • Substituindo y e y'' em \,y''+y=0 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} \;+\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} \;=\; 0.
  • Como as duas somas têm a mesma potência x^n, podemos juntá-las:
\sum_{n=0}^{\infty} \big[(n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n\big] x^{n} = 0.
  • Para que essa identidade de séries seja verdadeira para todo x, cada coeficiente deve ser zero. Assim, para todo n\ge 0 vale
(n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n = 0.

Passo 5

Obtenção da relação de recorrência:
  • Isolando a_{n+2} temos a relação de recorrência que determina todos os coeficientes a partir dos dois primeiros:
a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge 0.
  • Essa relação diz: cada coeficiente dois índices à frente é -1 dividido por (n+2)(n+1) vezes o coeficiente atual.

Passo 6

Aplicação das condições iniciais para fixar a_0 e a_1:
  • Pela definição da série, y(0)=a_0. Como y(0)=0, obtemos
a_0=0.
  • Pela expressão de y' avaliada em 0, y'(0)=a_1. Como y'(0)=1, obtemos
a_1=1.

Passo 7

Cálculo dos primeiros coeficientes e observação de um padrão:
  • Usando a recorrência e os valores iniciais:
    • Para n=0: a_2 = -\dfrac{a_0}{2\cdot1} = 0.
    • Para n=1: a_3 = -\dfrac{a_1}{3\cdot2} = -\dfrac{1}{6} = -\dfrac{1}{3!}.
    • Para n=2: a_4 = -\dfrac{a_2}{4\cdot3} = 0.
    • Para n=3: a_5 = -\dfrac{a_3}{5\cdot4} = -\dfrac{-1/6}{20} = \dfrac{1}{120} = \dfrac{1}{5!}.
    • Para n=4: a_6 = 0.
    • Para n=5: a_7 = -\dfrac{a_5}{7\cdot6} = -\dfrac{1/120}{42} = -\dfrac{1}{5040} = -\dfrac{1}{7!}.
  • Observa-se o padrão: todos os coeficientes com índice par são zero e os coeficientes ímpares obedecem a uma fórmula com sinal alternado e fatorial no denominador.

Passo 8

Demonstração por indução do padrão geral dos coeficientes:
  • Conjectura (a provar por indução usando a recorrência):
    • a_{2k} = 0 para todo k\ge 0.
    • a_{2k+1} = (-1)^k \dfrac{1}{(2k+1)!} para todo k\ge 0.
  • Base: para k=0 temos a_0=0 (ok) e a_1=1=(-1)^0/1! (ok).
  • Passo indutivo: suponha verdadeiro para índices até 2k\!+\!1. Usando a recorrência com n=2k obtemos a_{2k+2} = -\frac{a_{2k}}{(2k+2)(2k+1)} = -\frac{0}{\cdots} = 0,logo a parte par mantém-se nula. Usando a recorrência com n=2k+1, a_{2k+3} = -\frac{a_{2k+1}}{(2k+3)(2k+2)} = -\frac{(-1)^k}{(2k+1)!(2k+3)(2k+2)}.Simplificando o fatorial no denominador, a_{2k+3} = (-1)^{k+1} \frac{1}{(2k+3)!},o que fecha a indução. Portanto a fórmula vale para todo k.

Passo 9

Escrever a série solução usando o padrão dos coeficientes e reconhecer a função:
  • Substituindo os coeficientes na série temos apenas termos ímpares:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1} =\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
  • Essa série é exatamente a série de Maclaurin conhecida de \sin x. Portanto a função solução é
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin x.
  • Verificação rápida: a série converge para todo x e se diferencia termo a termo; substituindo mostra-se que y''+y=0 e as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin x

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