Encontre a função definida por meio de Série de potências que satisfaz as seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função definida por meio de série de potências que satisfaça a equação
com as condições iniciais
Informações dadas:
- A EDO é
. - As condições iniciais são
e . - Deve-se buscar a solução na forma de série de potências centrada em
(série de Maclaurin).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e simples):
- Vamos supor que a solução possa ser escrita como uma série de potências centrada em
:
onde os
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar a partir da equação diferencial e das condições iniciais. Isso é natural quando se pede “série de potências”.
Passo 3
Derivadas da série (passo a passo):
- Derivando termo a termo, obtemos
- Derivando novamente,
Para somar com a série de
é conveniente reindexar
para potências
. Fazendo
na soma de
,
Passo 4
Substituição na equação e combinação de termos semelhantes:
- Substituindo
e em obtemos
- Como as duas somas têm a mesma potência
, podemos juntá-las:
- Para que essa identidade de séries seja verdadeira para todo
, cada coeficiente deve ser zero. Assim, para todo vale
Passo 5
Obtenção da relação de recorrência:
- Isolando
temos a relação de recorrência que determina todos os coeficientes a partir dos dois primeiros:
- Essa relação diz: cada coeficiente dois índices à frente é
dividido por vezes o coeficiente atual.
Passo 6
Aplicação das condições iniciais para fixar
e
:
- Pela definição da série,
. Como , obtemos
- Pela expressão de
avaliada em , . Como , obtemos
Passo 7
Cálculo dos primeiros coeficientes e observação de um padrão:
- Usando a recorrência e os valores iniciais:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Observa-se o padrão: todos os coeficientes com índice par são zero e os coeficientes ímpares obedecem a uma fórmula com sinal alternado e fatorial no denominador.
Passo 8
Demonstração por indução do padrão geral dos coeficientes:
- Conjectura (a provar por indução usando a recorrência):
-
para todo . -
para todo .
-
- Base: para
temos (ok) e (ok). - Passo indutivo: suponha verdadeiro para índices até
. Usando a recorrência com obtemos logo a parte par mantém-se nula. Usando a recorrência com , Simplificando o fatorial no denominador, o que fecha a indução. Portanto a fórmula vale para todo .
Passo 9
Escrever a série solução usando o padrão dos coeficientes e reconhecer a função:
- Substituindo os coeficientes na série temos apenas termos ímpares:
- Essa série é exatamente a série de Maclaurin conhecida de
. Portanto a função solução é
- Verificação rápida: a série converge para todo
e se diferencia termo a termo; substituindo mostra-se que e as condições iniciais são satisfeitas.