Encontre uma representação em série de potências em torno de x=0 para a função \ln (1+x), indique seu raio de convergência e mostre que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}=\ln (2)
DICA: \int \frac{1}{1+x} d x.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Encontrar uma representação em série de potências em torno de x=0 para \ln(1+x).
  • Indicar o raio de convergência dessa série.
  • Mostrar que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}=\ln(2).
Informações dadas / dica: foi sugerido usar \int \dfrac{1}{1+x}\,dx. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Vamos começar lembrando a série geométrica básica e quando ela vale. Para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Tomando r=-x (ou seja, substituindo r por -x), obtemos para |x|<1:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}.
Explicando: cada termo da soma é (-1)^{n}x^{n}; a soma infinita converge apenas se |-x|<1, ou seja |x|<1.

Passo 3

A dica do enunciado sugere integrar \dfrac{1}{1+x}. Como a igualdade da série anterior vale uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1), podemos integrar termo a termo para x com |x|<1. Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{1}{1+x}\,dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n}\,dx.
No lado esquerdo \int \dfrac{1}{1+x}\,dx=\ln(1+x)+C. No lado direito integramos cada termo:
\int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n}\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Agora escolhemos a constante C avaliando em x=0. Como \ln(1+0)=0 e a soma no lado direito também vale 0 em x=0, temos C=0. Logo, para |x|<1:
\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Reindexando (trocar n+1 por n) fica mais usual:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n},\qquad |x|<1.

Passo 4

Interpretação didática da série encontrada:
  • A expressão \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n} é a série de Taylor (ou Maclaurin) de \ln(1+x) centrada em 0.
  • Cada termo tem a forma (-1)^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n}: o sinal alterna, a potência é x^{n} e o denominador é n. Isso é consequência direta da integração termo a termo da série geométrica.

Passo 5

Raio de convergência. Usamos o teste da razão aplicado aos coeficientes a_{n}=(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} (ignoramos o fator x^n na forma usual do teste):
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
O raio de convergência R satisfaz 1/R= esse limite; portanto R=1. Conclusão: a série converge absolutamente para |x|<1. Sobre os extremos:
  • Em x=1 a série vira \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}, que é a série harmônica alternada e converge (teste de Leibniz) — o valor é \ln 2 (veremos abaixo).
  • Em x=-1 a série vira \sum_{n=1}^{\infty}-\dfrac{1}{n}, que diverge (soma harmônica com sinal fixo). Logo, intervalo de convergência é [-1,1) com convergência condicional em x=1 e divergência em x=-1.

Passo 6

Agora mostramos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}=\ln(2). Há duas maneiras simples; eu uso a que vem naturalmente da série de potências para -\ln(1-x):
Para |x|<1 a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\dfrac{1}{1-x}. Integrando termo a termo (como fizemos antes), obtemos
\int \frac{1}{1-x}\,dx=-\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n},\qquad |x|<1.
Essa identidade é equivalente a \displaystyle -\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n}.
Agora escolha x=\dfrac{1}{2} (que satisfaz |x|<1). Substituindo:
-\ln\!\left(1-\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/2)^{n}}{n}.
O lado esquerdo é -\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln 2. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}=\ln 2.
Se quiser, outra maneira é observar que na série obtida para \ln(1+x) podemos colocar x=1 e obter \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}=\ln 2; então substituir x=\dfrac{1}{2} na forma -\ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty x^n/n dá diretamente o mesmo resultado. Ambas as abordagens são equivalentes e justificadas pelas propriedades de séries de potências e integração termo a termo dentro do raio de convergência.

Resposta

\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}\quad\text{para }|x|<1\n
Raio de convergência: R=1\n
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}=\ln 2

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