Calcule as integrais solicitadas:
(2 pontos) \int \frac{x^{2}-2 x-1}{x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-2x-1}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional: numerador \,x^{2}-2x-1 de grau 2 e denominador \,x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1 de grau 4.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função racional.

Passo 2

Escolha do método e fatoração do denominador.
Para integrar uma função racional com numerador de grau menor que o denominador, o método padrão é decomposição em frações parciais. Isso exige fatorar o denominador. Vamos fatorar
x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1.
Uma maneira prática é tentar fatorá-lo como produto de fatores de baixo grau. Verifica-se que
(x-1)^{2}(x^{2}+1)= (x^{2}-2x+1)(x^{2}+1).
Expandindo esse produto:
(x^{2}-2x+1)(x^{2}+1)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1,
que é exatamente o denominador. Portanto
x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}(x^{2}+1).

Passo 3

Forma da decomposição em frações parciais.
Como o denominador tem um fator linear repetido (x-1)^{2} e um fator quadrático irreduzível x^{2}+1, a decomposição tem a forma
\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Essa forma é padrão: para fator linear de multiplicidade 2 usamos termos \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}; para fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear \dfrac{Cx+D}{x^{2}+1}.

Passo 4

Determinar as constantes [A,B,C,D) por igualação.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x^{2}+1) obtemos
x^{2}-2x-1 = A(x-1)(x^{2}+1) + B(x^{2}+1) + (Cx+D)(x-1)^{2}.
Vamos expandir cada termo passo a passo.
Primeiro
(x-1)(x^{2}+1)=x^{3}-x^{2}+x-1,
logo
A(x-1)(x^{2}+1)=A x^{3}-A x^{2}+A x - A.
Segundo
B(x^{2}+1)= B x^{2} + B.
Terceiro, expandindo (Cx+D)(x-1)^{2}. Note que (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. Assim
(Cx+D)(x^{2}-2x+1)=C x^{3}+(-2C+D)x^{2}+(C-2D)x + D.
Somando todos os termos obtém-se o polinômio do lado direito:
(A+C)x^{3} + (-A + B -2C + D)x^{2} + (A + C -2D)x + (-A + B + D).
Esse polinômio deve ser igual ao polinômio do lado esquerdo x^{2}-2x-1, cujo vetor de coeficientes é:
  • coeficiente de x^{3}: 0,
  • coeficiente de x^{2}: 1,
  • coeficiente de x: -2,
  • termo constante: -1.
Igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] - A + B - 2C + D = 1,\\[4pt] A + C - 2D = -2,\\[4pt] - A + B + D = -1. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da primeira equação C = -A\]. - Substituindo \(C=-A na terceira equação: A + (-A) -2D = -2 \Rightarrow -2D = -2 \Rightarrow D = 1.
    - Substituindo C=-A e D=1 na segunda: -A + B -2(-A) + 1 = 1 \Rightarrow -A + B +2A +1 =1 \Rightarrow A + B =0.
    - Da quarta equação com D=1: -A + B +1 = -1 \Rightarrow -A + B = -2.
Das duas últimas equações A + B =0 e -A + B = -2, somando-as: 2B = -2 \Rightarrow B = -1. Então A = -B = 1. E C = -A = -1. Já tínhamos D=1.
Portanto
A=1,\quad B=-1,\quad C=-1,\quad D=1.]

Passo 5

Escrever a decomposição encontrada e preparar para integrar.
Substituindo as constantes na decomposição:
\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{-x+1}{x^{2}+1}.
Separamos o último termo:
\frac{-x+1}{x^{2}+1}=-\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x-1}\,dx,\qquad \int -\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx,\qquad \int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx,\qquad \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Lembrando as integrais básicas que vamos usar (explicando cada uma):
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1| + C. Motivo: \dfrac{d}{dx}\ln|x-1| = \dfrac{1}{x-1}.
  • \displaystyle \int (x-1)^{-2}\,dx = \frac{(x-1)^{-1}}{-1}+C = -\frac{1}{x-1}+C. Portanto com o sinal negativo:
\int -\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = -\left(-\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{x-1}.
  • Para \displaystyle \int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx use a substituição u=x^{2}+1. Como du=2x\,dx, tem-se \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C. Assim
\int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
  • Finalmente \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x) + C, porque \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Somar os resultados das integrais parciais e escrever a primitiva final.
Somando tudo obtemos a primitiva
\ln|x-1| + \frac{1}{x-1} -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + \arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\ln|x-1|+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\arctan(x)+C

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