Beleza, vamos resolver essa integral que foi passada: . Aqui, estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica usada quando conseguimos simplificar a integral fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao substituir, torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a substituição. Observando o denominador, temos . Vamos então definir:
A ideia aqui é que ao substituir por , podemos simplificar a integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Queremos isolar para substituir na integral. Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de :
Simplificando:
Mas lembrando que , podemos expressar em termos de :
No entanto, parece que ainda está complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente na substituição.
Passo 5
Vamos optar por uma substituição trigonométrica. Considere que a expressão sugere o uso da substituição:
Então, .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Lembrando que , temos:
Agora, precisamos integrar e separadamente.
Passo 7
Sabemos que:
E para , usamos a fórmula:
Então, juntando tudo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos voltar para a variável original . Lembrando que:
E:
Substituindo na expressão:
Simplificando os coeficientes:
= 25 ( x raizx^2 + 2550 - 12 ln ( raizx^2 + 25 + x5 ) ) + C
= x raizx^2 + 252 - 252 ln ( raizx^2 + 25 + x5 ) + C
Resposta
A integral integral x^2raizx^2+25 , dx é igual a:
x raizx^2 + 252 - 252 ln ( raizx^2 + 25 + x5 ) + C