Calcule as integrais por substituição:
(i)
integral x^2raizx^2+25 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que foi passada: integral x^2raizx^2+25 , dx. Aqui, estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica usada quando conseguimos simplificar a integral fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao substituir, torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição. Observando o denominador, temos raizx^2 + 25. Vamos então definir:
u = x^2 + 25
A ideia aqui é que ao substituir u por x^2 + 25, podemos simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Queremos isolar x , dx para substituir na integral. Dividindo ambos os lados por 2:
x , dx = du2

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u:
integral x^2raizx^2+25 , dx = integral x^2raizu cdot du2x
Simplificando:
= 12 integral x^2x raizu , du = 12 integral xraizu , du
Mas lembrando que u = x^2 + 25, podemos expressar x^2 em termos de u:
x^2 = u - 25 Rightarrow x = raizu - 25
No entanto, parece que ainda está complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente na substituição.

Passo 5

Vamos optar por uma substituição trigonométrica. Considere que a expressão raizx^2 + 25 sugere o uso da substituição:
x = 5 tan theta
Então, dx = 5 sec^2 theta , dtheta.
Substituindo na integral:
integral (5 tan theta)^2raiz(5 tan theta)^2 + 25 cdot 5 sec^2 theta , dtheta
Simplificando:
= integral 25 tan^2 thetaraiz25 tan^2 theta + 25 cdot 5 sec^2 theta , dtheta = integral 25 tan^2 theta5 sec theta cdot 5 sec^2 theta , dtheta
= integral 25 tan^2 theta cdot sec theta , dtheta

Passo 6

Simplificando a expressão:
= 25 integral tan^2 theta cdot sec theta , dtheta
Lembrando que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, temos:
= 25 integral (sec^2 theta - 1) cdot sec theta , dtheta = 25 integral sec^3 theta - sec theta , dtheta
Agora, precisamos integrar sec^3 theta e sec theta separadamente.

Passo 7

Sabemos que:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C
E para integral sec^3 theta , dtheta, usamos a fórmula:
integral sec^3 theta , dtheta = 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| + C
Então, juntando tudo:
25 ( 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| - ln |sec theta + tan theta| ) + C
Simplificando:
25 ( 12 sec theta tan theta - 12 ln |sec theta + tan theta| ) + C

Passo 8

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembrando que:
x = 5 tan theta Rightarrow tan theta = x5
E:
sec theta = raiz1 + tan^2 theta = raiz1 + (x5)^2 = raizx^2 + 255
Substituindo na expressão:
25 ( 12 cdot raizx^2 + 255 cdot x5 - 12 ln | raizx^2 + 255 + x5 | ) + C
Simplificando os coeficientes:
= 25 ( x raizx^2 + 2550 - 12 ln ( raizx^2 + 25 + x5 ) ) + C
= x raizx^2 + 252 - 252 ln ( raizx^2 + 25 + x5 ) + C

Resposta

A integral integral x^2raizx^2+25 , dx é igual a:
x raizx^2 + 252 - 252 ln ( raizx^2 + 25 + x5 ) + C
Onde C é a constante de integração.

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