Calcule as integrais por substituição:
(e)
integral e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por substituição. Esse método é ótimo quando a função que estamos integrando pode ser simplificada com uma mudança de variável. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma nova variável e depois integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a função u = 3x , percebemos que o expoente é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3 Rightarrow du = 3,dx Rightarrow dx = du3 em relação a para substituir o diferencial . derivando , temos:

Passo 4

Vamos substituir integral e^3x , dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples e fácil de resolver.

Passo 5

Integrando 13 integral e^u , du = 13 e^u + C em relação a , temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo integral e^3x , dx = 13 e^3x + C de volta, a integral fica:

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