Calcule as integrais por substituição:
\int \operatorname{sec} (2 x) \cdot \operatorname{tg}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, usando o fato de que a derivada de \operatorname{sec}(u) é \operatorname{sec}(u)\,\operatorname{tg}(u).

Passo 2

Fazemos a substituição linear
u = 2x\
então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int \operatorname{sec}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\operatorname{tg}(u)\,\frac{du}{2} = \frac12 \int \operatorname{sec}(u)\,\operatorname{tg}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr] =\operatorname{sec}(u)\,\operatorname{tg}(u),
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\int \operatorname{sec}(u)\,\operatorname{tg}(u)\,du =\operatorname{sec}(u)+C.

Passo 5

Voltando a x com u=2x, obtemos
\frac12\operatorname{sec}(u)+C =\frac12\operatorname{sec}(2x)+C.

Resposta

\frac12\operatorname{sec}(2x)+C

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