Calcule as integrais por substituição:
\int \operatorname{sen}\left(5 x+\frac{\pi}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin\!\Bigl(5x + \tfrac{\pi}{2}\Bigr)\,dx.
Vamos usar o método de substituição em integrais de funções compostas.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 5x + \frac{\pi}{2},
temos
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \sin\!\Bigl(5x + \tfrac{\pi}{2}\Bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{5}\cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x:
-\frac{1}{5}\cos\!\Bigl(5x + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) + C.

Resposta

-\frac{1}{5}\cos\!\bigl(5x + \tfrac{\pi}{2}\bigr) + C

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