A solução de uma equação não homogênea
é dada por
Onde
é a solução geral de
e
é uma solução particular da equação não homogênea. A solução
pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados. Este método depende da função
.
Resolva as seguintes equações.
b)
Resolva as seguintes equações.
b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
Usaremos o método de superposição: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
e depois buscamos uma solução particular
por coeficientes indeterminados para o termo forçante
.
Passo 2
Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica
As raízes são
Logo, a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para achar
, como o termo forçante é
e não há ressonância (raiz característica não é
sem parte real), fazemos o palpite
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Isto é
Queremos que isso seja igual a
, ou seja
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Portanto,
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma