A solução de uma equação não homogênea a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t) é dada por
\varphi(t)=y_{1}(t)+y_{p}(t)
Onde y_{1} é a solução geral de a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 e y_{p} é uma solução particular da equação não homogênea. A solução y_{p} pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados. Este método depende da função g.
Resolva as seguintes equações.
b) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
y'' + 2y' + 5y = 3\operatorname{sen}(2t)
Usaremos o método de superposição: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y'' + 2y' + 5y = 0
e depois buscamos uma solução particular y_p(t) por coeficientes indeterminados para o termo forçante 3\operatorname{sen}(2t).

Passo 2

Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica
r^2 + 2r + 5 = 0.
As raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i.
Logo, a solução geral homogênea é
y_1(t) = e^{-t}\bigl(A\cos(2t) + B\operatorname{sen}(2t)\bigr),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar y_p(t), como o termo forçante é 3\operatorname{sen}(2t) e não há ressonância (raiz característica não é \pm 2i sem parte real), fazemos o palpite
y_p(t) = C\cos(2t) + D\operatorname{sen}(2t).
Calculamos as derivadas:
y_p' = -2C\operatorname{sen}(2t) + 2D\cos(2t),
y_p'' = -4C\cos(2t) -4D\operatorname{sen}(2t).
Substituindo em y''+2y'+5y:
y_p'' + 2y_p' +5y_p = \bigl(-4C +4D +5C\bigr)\cos(2t) + \bigl(-4D -4C +5D\bigr)\operatorname{sen}(2t).
Isto é
= (C + 4D)\cos(2t) + (D - 4C)\operatorname{sen}(2t).
Queremos que isso seja igual a 3\operatorname{sen}(2t), ou seja
C + 4D = 0, \qquad D - 4C = 3.
Da primeira equação C = -4D. Substituindo na segunda:
D -4(-4D) = D +16D = 17D = 3 \quad\Longrightarrow\quad D = \frac{3}{17},
C = -4\cdot \frac{3}{17} = -\frac{12}{17}.
Portanto,
y_p(t) = -\frac{12}{17}\cos(2t) + \frac{3}{17}\operatorname{sen}(2t).

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma
\varphi(t) = y_1(t) + y_p(t) = e^{-t}\bigl(A\cos(2t) + B\operatorname{sen}(2t)\bigr) -\frac{12}{17}\cos(2t) + \frac{3}{17}\operatorname{sen}(2t).

Resposta

\boxed{\varphi(t) = e^{-t}\bigl(A\cos(2t) + B\operatorname{sen}(2t)\bigr) -\frac{12}{17}\cos(2t) + \frac{3}{17}\operatorname{sen}(2t).}

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