Calcule as integrais por substituição:
integral 18 x1+9 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 18x1+9x^2,dx usando substituição. O conteúdo é integração por substituição (u-substituição) e vamos precisar reconhecer dentro do integrando uma parte cuja derivada aparece multiplicada.

Passo 2

Para aplicar u-substituição, a gente identifica uma expressão u no denominador cuja derivada aparece no numerador. Note que se definirmos
u = 1 + 9x^2,
então derivando ambos os lados em relação a x temos
du = 18x,dx

Passo 3

Com essa escolha de u, o numerador 18x,dx se transforma exatamente em du, e o denominador 1+9x^2 vira u. Assim, a integral fica
integral 18x1+9x^2,dx = integral duu

Passo 4

Agora basta lembrar que a integral de 1/u é o logaritmo natural de u. Logo,
integral duu = ln|u| + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = 1 + 9x^2. Assim, a resposta final é
lnl(1+9x^2r) + C

Resposta

ln(1+9x^2) + C

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