Considere a quádrica dada por
.
(1,25 pontos) Identifique e esboce a quádrica.
(1,25 pontos) Identifique e esboce a quádrica.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
O conteúdo é classificação de quadricas e vamos precisar completar quadrados e levar a equação a uma forma canônica.
Passo 2
Reúnem-se todos os termos num lado e reorganiza-se:
Passo 3
Agora completamos o quadrado em
. Primeiro, agrupamos
mas tomando cuidado com o sinal:
Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Logo:
Passo 4
Multiplicamos tudo por
e dividimos por 4 para chegar à forma padrão:
Podemos reescrever:
Passo 5
Como há um termo positivo (
) e dois negativos, é um hiperbolóide de duas folhas. O eixo principal é paralelo ao eixo
, deslocado no sentido de
de modo que o centro da seção está em
. Cada folha aparece para
.
Passo 6
Esboço: duas “taças” ou “copos” simétricos, uma abrindo para
e outra para
, com vértices em
e seção elíptica em planos
.
Resposta
É um hiperbolóide de duas folhas de eixo paralelo a
, centrado ao longo da reta
, com vértices em
.