Considere a quádrica dada por 2 y^2+4 z=8+4 x^2+z^2.
(1,25 pontos) Identifique e esboce a quádrica.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
2y^2 + 4z = 8 + 4x^2 + z^2
O conteúdo é classificação de quadricas e vamos precisar completar quadrados e levar a equação a uma forma canônica.

Passo 2

Reúnem-se todos os termos num lado e reorganiza-se:
2y^2 + 4z - 8 - 4x^2 - z^2 = 0
-4x^2 + 2y^2 - z^2 + 4z - 8 = 0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em z. Primeiro, agrupamos z^2 - 4z mas tomando cuidado com o sinal:
-4x^2 + 2y^2 - l(z^2 - 4zr) - 8 = 0
Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
-4x^2 + 2y^2 - l(z^2 - 4z + 4r) - 8 + 4 = 0
Logo:
-4x^2 + 2y^2 - (z - 2)^2 -4 = 0

Passo 4

Multiplicamos tudo por -1 e dividimos por 4 para chegar à forma padrão:
4x^2 - 2y^2 + (z - 2)^2 = -4
- x^2 + y^22 - (z - 2)^24 = 1
Podemos reescrever:
y^22 - x^21 - (z - 2)^24 = 1

Passo 5

Como há um termo positivo ( y^2/2) e dois negativos, é um hiperbolóide de duas folhas. O eixo principal é paralelo ao eixo y, deslocado no sentido de z de modo que o centro da seção está em (0,0,2). Cada folha aparece para |y|>= raiz2.

Passo 6

Esboço: duas “taças” ou “copos” simétricos, uma abrindo para +y e outra para -y, com vértices em
(x,y,z) = (0,pmraiz2,2)
e seção elíptica em planos y=const.

Resposta

É um hiperbolóide de duas folhas de eixo paralelo a y, centrado ao longo da reta x=0,;z=2, com vértices em (0,pmraiz2,2).

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