Calcule as integrais por substituição:
integral 3 x^2(1+x^3)^25 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por substituição da função
integral 3x^2(1+x^3)^25,dx. O conteúdo aqui é técnica de substituição de variável, que serve para simplificar integrais quando há uma composição e sua derivada aparece no integrando.

Passo 2

Para aplicar a substituição, definimos
u = 1 + x^3
e, ao derivar, obtemos
du = 3x^2,dx.
Assim, o pedaço 3x^2,dx no integrando será substituído por du.

Passo 3

Reescrevendo toda a integral em termos de u, temos
integral 3x^2(1+x^3)^25,dx = integral u^25,du
Agora é só integrar a potência de u:
integral u^25,du = u^2626 + C

Passo 4

Por fim, voltamos para a variável x substituindo u = 1 + x^3. A antiderivada fica
(1 + x^3)^2626 + C

Resposta

(1 + x^3)^2626 + C

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