Calcule as integrais por substituição:
integral 5(5 x-3)^-1 / 3 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral 5(5x-3)^-1/3,dx. O conteúdo é técnicas de integração, mais precisamente substituição, porque temos uma função interna 5x-3 elevada a uma potência.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 5x - 3,
então
du = 5,dx
e
dx = du5
Substituindo na integral:
integral 5(5x-3)^-1/3,dx = integral 5u^-1/3cdotdu5 = integral u^-1/3,du

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência para antiderivada: se n neq -1,
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C
Aqui n = -tfrac13, então
integral u^-1/3,du = u^(-1/3)+1(-1/3)+1 + C = u^2/32/3 + C = 32u^2/3 + C

Passo 4

Voltando para a variável x, lembrando que u = 5x - 3, obtemos a primitiva
32(5x - 3)^2/3 + C

Passo 5

Para confirmar, derivamos:
ddxl(tfrac32(5x - 3)^2/3r) = tfrac32cdottfrac23(5x-3)^-1/3cdot5 = 5(5x-3)^-1/3,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

32(5x - 3)^2/3 + C

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