Calcule as integrais por substituição simples:
\int_{-1}^{0} \frac{7}{(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0}\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{7}{(x-1)^{2}}.
  • Os limites de integração são x=-1 (inferior) e x=0 (superior).
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral usando substituição simples.

Passo 2

Ideia da substituição simples (mini-aula): a substituição consiste em trocar a variável x por uma nova variável u de modo que a integral fique mais fácil. Se escolhermos uma função u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Para integrais definidas, também trocamos os limites: quando x toma um valor, calculamos o correspondente u e usamos esses novos limites.
Aqui a escolha natural é simplificar a parte (x-1). Defino
u = x-1.
Agora calculo o diferencial:
du = dx,
porque a derivada de x-1 em relação a x é 1.

Passo 3

Troca dos limites de integração (importante): calcular u nos extremos em x.
\text{Quando } x=-1,\quad u = -1-1 = -2.
\text{Quando } x=0,\quad u = 0-1 = -1.
Reescrevo a integral em termos de u. Como du=dx e (x-1)^2 = u^2, temos
\int_{-1}^{0}\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx = \int_{u=-2}^{u=-1}\frac{7}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Integrando em u (mini-aula sobre regra de potência): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1} = -\frac{1}{u}.
Multiplicando por 7,
\int \frac{7}{u^{2}}\,du = 7\left(-\frac{1}{u}\right) = -\frac{7}{u}.
Essa é a primitiva que vamos avaliar entre u=-2 e u=-1.

Passo 5

Avaliação da primitiva nos limites:
\left.-\frac{7}{u}\right|_{u=-2}^{u=-1} = \left(-\frac{7}{-1}\right) - \left(-\frac{7}{-2}\right).
Calculo termo a termo:
-\frac{7}{-1}=7,\qquad -\frac{7}{-2}=\frac{7}{2}.
Portanto
7 - \frac{7}{2} = \frac{14-7}{2} = \frac{7}{2}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: pronto — a integral converge e o resultado é \dfrac{7}{2}. Mandou bem por trazer essa questão; com substituição simples a conta fica bem direta.

Resposta

\dfrac{7}{2}

Exercícios relacionados