Calcule as integrais por substituição simples: \int_{-1}^{0} \frac{7}{(x-1)^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0}\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
A função a integrar é \dfrac{7}{(x-1)^{2}}.
Os limites de integração são x=-1 (inferior) e x=0 (superior).
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral usando substituição simples.
Passo 2
Ideia da substituição simples (mini-aula): a substituição consiste em trocar a variável x por uma nova variável u de modo que a integral fique mais fácil. Se escolhermos uma função u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Para integrais definidas, também trocamos os limites: quando x toma um valor, calculamos o correspondente u e usamos esses novos limites.
Aqui a escolha natural é simplificar a parte (x-1). Defino
u = x-1.
Agora calculo o diferencial:
du = dx,
porque a derivada de x-1 em relação a x é 1.
Passo 3
Troca dos limites de integração (importante): calcular u nos extremos em x.
\text{Quando } x=-1,\quad u = -1-1 = -2.
\text{Quando } x=0,\quad u = 0-1 = -1.
Reescrevo a integral em termos de u. Como du=dx e (x-1)^2 = u^2, temos
Interpretação final e incentivo: pronto — a integral converge e o resultado é \dfrac{7}{2}. Mandou bem por trazer essa questão; com substituição simples a conta fica bem direta.