Calcule as integrais por substituição simples:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Está dada a integral indefinida
. - O pedido é calcular essa integral por substituição simples (ou seja, encontrar uma primitiva).
- Informação útil observável no integrando: aparece
dentro de uma função exponencial e multiplicando; isso sugere que a derivada de (que é ) pode ser usada numa substituição.
Passo 2
Escolha da substituição e razão:
- Proponho a substituição
. - Agora calcule a diferencial
. Como , temos
- Desse resultado isolamos
:
(Razão didática: a ideia da substituição é trocar uma expressão complicada em
por uma variável
tal que a diferencial
aparece multiplicando, permitindo integrar mais facilmente.)
Passo 3
Fazer a substituição na integral:
- Substituindo
e na integral original, obtemos
- Colocando o sinal negativo para fora:
Passo 4
Integrar em
termo a termo:
- Integramos cada parcela separadamente:
- Sabemos que
e . Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
(substituição inversa):
- Lembrando que
, substituímos de volta:
- Portanto uma primitiva da função dada é
.
Passo 6
Verificação (derivando a primitiva para checar):
- Seja
. Calculando a derivada:
- Simplificando:
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.
Passo 7
Dica rápida para a prova (curta e prática):
- Sempre olhe se o integrando tem uma função composta
e se aparece multiplicando; aí a substituição é a escolha natural e economiza tempo. - No caso aqui:
e apareceu (à menos de um sinal), então a substituição funciona direto.