Calcule as integrais por substituição simples:
\int\left(1+e^{\cos (x)}\right) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dada a integral indefinida \displaystyle \int\left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x)\,dx.
  • O pedido é calcular essa integral por substituição simples (ou seja, encontrar uma primitiva).
  • Informação útil observável no integrando: aparece \cos(x) dentro de uma função exponencial e \operatorname{sen}(x) multiplicando; isso sugere que a derivada de \cos(x) (que é -\operatorname{sen}(x)) pode ser usada numa substituição.

Passo 2

Escolha da substituição e razão:
  • Proponho a substituição \displaystyle u=\cos(x).
  • Agora calcule a diferencial du. Como \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x), temos
du = -\operatorname{sen}(x)\,dx.
  • Desse resultado isolamos \operatorname{sen}(x)\,dx:
\operatorname{sen}(x)\,dx = -du.
(Razão didática: a ideia da substituição é trocar uma expressão complicada em x por uma variável u tal que a diferencial du aparece multiplicando, permitindo integrar mais facilmente.)

Passo 3

Fazer a substituição na integral:
  • Substituindo \cos(x)=u e \operatorname{sen}(x)\,dx=-du na integral original, obtemos
\int\left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x)\,dx = \int\left(1+e^{u}\right)\bigl(-du\bigr).
  • Colocando o sinal negativo para fora:
\int\left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x)\,dx = -\int\left(1+e^{u}\right)\,du.

Passo 4

Integrar em u termo a termo:
  • Integramos cada parcela separadamente:
-\int\left(1+e^{u}\right)\,du = -\left(\int 1\,du + \int e^{u}\,du\right).
  • Sabemos que \displaystyle\int 1\,du = u e \displaystyle\int e^{u}\,du = e^{u}. Portanto
-\left(\int 1\,du + \int e^{u}\,du\right) = -(u + e^{u}) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável x (substituição inversa):
  • Lembrando que u=\cos(x), substituímos de volta:
-(u + e^{u}) + C = -\cos(x) - e^{\cos(x)} + C.
  • Portanto uma primitiva da função dada é -\cos(x) - e^{\cos(x)} + C.

Passo 6

Verificação (derivando a primitiva para checar):
  • Seja F(x) = -\cos(x) - e^{\cos(x)}. Calculando a derivada:
F'(x) = -\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr) - e^{\cos(x)}\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr).
  • Simplificando:
F'(x) = \operatorname{sen}(x) + e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x) = \bigl(1+e^{\cos(x)}\bigr)\operatorname{sen}(x),
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.

Passo 7

Dica rápida para a prova (curta e prática):
  • Sempre olhe se o integrando tem uma função composta f(g(x)) e se aparece g'(x) multiplicando; aí a substituição u=g(x) é a escolha natural e economiza tempo.
  • No caso aqui: g(x)=\cos(x) e g'(x)=-\operatorname{sen}(x) apareceu (à menos de um sinal), então a substituição funciona direto.

Resposta

-\cos(x)-e^{\cos(x)}+C

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