Calcule as integrais por substituição simples:
\int\left(x+x^{3}\right) \ln \left(1+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x+x^{3}\right)\ln\left(1+x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais que podemos usar:
  • O integrando é \left(x+x^{3}\right)\ln\left(1+x^{2}\right).
  • Não há limites de integração (é uma primitiva / integral indefinida).
  • Podemos tentar simplificar o integrando fatorando ou fazendo substituição porque aparece \ln\left(1+x^{2}\right) e também termos em x e x^{3}.

Passo 2

Fatorar o polinômio para ver uma estrutura útil:
x+x^{3}=x\left(1+x^{2}\right).
Então a integral fica
\int x\left(1+x^{2}\right)\ln\left(1+x^{2}\right)\,dx.
Observação didática: quando aparece \ln de uma expressão e multiplicado por algo cujo diferencial se relaciona com essa expressão, a substituição simples costuma funcionar. Aqui a expressão dentro do log é 1+x^{2} e sua derivada é 2x, que está muito parecida com o fator x\,dx que temos.

Passo 3

Fazer a substituição adequada. Definimos
u=1+x^{2}.
Calcular o diferencial de u:
du=2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral (peguei u=1+x^{2} e x\,dx=\tfrac{1}{2}du):
\int x\left(1+x^{2}\right)\ln\left(1+x^{2}\right)\,dx = \int u\ln(u)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u\ln(u)\,du.
Agora reduzimos o problema a calcular \int u\ln(u)\,du.

Passo 4

Resolver \int u\ln(u)\,du por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int V\,dW = V W - \int W\,dV,
onde se escolhe V e dW. Aqui é conveniente escolher:
V=\ln(u)\quad\Rightarrow\quad dV=\frac{1}{u}\,du,
dW=u\,du\quad\Rightarrow\quad W=\frac{u^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula:
\int u\ln(u)\,du = \left(\ln(u)\right)\left(\frac{u^{2}}{2}\right) - \int \frac{u^{2}}{2}\cdot\frac{1}{u}\,du.
Simplificando o integrando da segunda parcela:
\int \frac{u^{2}}{2}\cdot\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\int u\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{2}=\frac{u^{2}}{4}.
Portanto
\int u\ln(u)\,du = \frac{u^{2}}{2}\ln(u) - \frac{u^{2}}{4} + C.

Passo 5

Voltar à integral original usando o fator \tfrac{1}{2} que ficou após a substituição:
\frac{1}{2}\int u\ln(u)\,du = \frac{1}{2}\left(\frac{u^{2}}{2}\ln(u) - \frac{u^{2}}{4}\right) + C.
Fazendo as multiplicações:
\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{2}\ln(u)=\frac{u^{2}}{4}\ln(u), \qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{4}=\frac{u^{2}}{8}.
Logo a primitiva em u é
\frac{u^{2}}{4}\ln(u)-\frac{u^{2}}{8}+C.
Finalmente substituímos u=1+x^{2} de volta:
\frac{\left(1+x^{2}\right)^{2}}{4}\ln\!\left(1+x^{2}\right)-\frac{\left(1+x^{2}\right)^{2}}{8}+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivar a expressão encontrada deve retornar o integrando original.
  • Diferenciando \frac{u^{2}}{4}\ln(u)-\frac{u^{2}}{8} em relação a x e usando u'=2x leva a x(1+x^{2})\ln(1+x^{2}), confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{\left(1+x^{2}\right)^{2}}{4}\ln\!\left(1+x^{2}\right)-\frac{\left(1+x^{2}\right)^{2}}{8}+C

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