Calcule as integrais por substituição simples:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais que podemos usar:
- O integrando é
. - Não há limites de integração (é uma primitiva / integral indefinida).
- Podemos tentar simplificar o integrando fatorando ou fazendo substituição porque aparece
e também termos em e .
Passo 2
Fatorar o polinômio para ver uma estrutura útil:
Então a integral fica
Observação didática: quando aparece
de uma expressão e multiplicado por algo cujo diferencial se relaciona com essa expressão, a substituição simples costuma funcionar. Aqui a expressão dentro do log é
e sua derivada é
, que está muito parecida com o fator
que temos.
Passo 3
Fazer a substituição adequada. Definimos
Calcular o diferencial de
:
Substituindo na integral (peguei
e
):
Agora reduzimos o problema a calcular
.
Passo 4
Resolver
por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde se escolhe
e
. Aqui é conveniente escolher:
Aplicando a fórmula:
Simplificando o integrando da segunda parcela:
Portanto
Passo 5
Voltar à integral original usando o fator
que ficou após a substituição:
Fazendo as multiplicações:
Logo a primitiva em
é
Finalmente substituímos
de volta:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivar a expressão encontrada deve retornar o integrando original.
- Diferenciando
em relação a e usando leva a , confirmando que a primitiva está correta.