Calcule as integrais trigonométricas:
\int_{0}^{\pi / 6} \cos (x) \operatorname{sen}^{{100}}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/6} \cos(x)\,\operatorname{sen}^{100}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos(x)\,\operatorname{sen}^{100}(x).
  • Os limites de integração são x=0 e x=\pi/6.
  • Não há outras restrições.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando e ideia do método (substituição):
Quando a função dentro de uma potência é \sin(x) e multiplicada por \cos(x)\,dx, uma substituição natural é definir u=\sin(x), porque a derivada de \sin(x) é \cos(x). Vou explicar isso devagarinho: se definirmos
u=\sin(x),
então, por diferenciação,
du=\cos(x)\,dx.
Isso significa que o fator \cos(x)\,dx no integrando pode ser substituído por du, e a potência \sin^{100}(x) vira u^{100}. Essa é a ideia que simplifica muito integrais do tipo \int \cos(x)\,\sin^n(x)\,dx.

Passo 3

Troca de variável e mudança dos limites:
Com u=\sin(x) e du=\cos(x)\,dx, a integral
\int_{0}^{\pi/6} \cos(x)\,\sin^{100}(x)\,dx
passa a ser uma integral em u. Agora calculamos os limites em u:
u(0)=\sin(0)=0,\qquad u\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Substituindo tudo, obtemos
\int_{0}^{\pi/6} \cos(x)\,\sin^{100}(x)\,dx = \int_{u=0}^{u=1/2} u^{100}\,du.

Passo 4

Integral de u^{100} — regra da potência para primitivas:
A regra básica de integração que vamos usar é: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=100, portanto uma primitiva de u^{100} é \dfrac{u^{101}}{101}. Como temos integral definida, avaliamos entre 0 e 1/2:
\int_{0}^{1/2} u^{100}\,du = \left[\frac{u^{101}}{101}\right]_{0}^{1/2} = \frac{(1/2)^{101}}{101}-\frac{0^{101}}{101}.
Como 0^{101}=0, fica
\frac{(1/2)^{101}}{101}.
Podemos escrever de forma equivalente como
\frac{1}{101\cdot 2^{101}}.

Passo 5

Verificação rápida (cheque mental):
Uma forma de checar é notar que a derivada de \dfrac{\sin^{101}(x)}{101} é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin^{101}(x)}{101}\right) = \frac{101\sin^{100}(x)\cos(x)}{101} = \sin^{100}(x)\cos(x),
ou seja, a primitiva encontrada está correta; avaliar entre 0 e \pi/6 retorna exatamente o resultado acima. Vai dar certo na prova, confia!

Resposta

\dfrac{1}{101\cdot 2^{101}}

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