Calcule as integrais trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Não há outras restrições.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando e ideia do método (substituição):
Quando a função dentro de uma potência é e multiplicada por
, uma substituição natural é definir
, porque a derivada de
é
. Vou explicar isso devagarinho: se definirmos
Quando a função dentro de uma potência é
então, por diferenciação,
Isso significa que o fator
no integrando pode ser substituído por
, e a potência
vira
. Essa é a ideia que simplifica muito integrais do tipo
.
Passo 3
Troca de variável e mudança dos limites:
Com e
, a integral
Com
passa a ser uma integral em
. Agora calculamos os limites em
:
Substituindo tudo, obtemos
Passo 4
Integral de
— regra da potência para primitivas:
A regra básica de integração que vamos usar é: para ,
A regra básica de integração que vamos usar é: para
Aqui
, portanto uma primitiva de
é
. Como temos integral definida, avaliamos entre
e
:
Como
, fica
Podemos escrever de forma equivalente como
Passo 5
Verificação rápida (cheque mental):
Uma forma de checar é notar que a derivada de é, pela regra da cadeia,
Uma forma de checar é notar que a derivada de
ou seja, a primitiva encontrada está correta; avaliar entre
e
retorna exatamente o resultado acima. Vai dar certo na prova, confia!