Calcule as integrais de superfície \int_{S} \vec{F} \cdot d S para os campos vetoriais \vec{F} e as superfícies orientadas S indicadas.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x z, y z, z^{2}\right) e S é a porção do cilindro x{2}+(y-1){2}=1 entre z=0 e z=9-x{2}-y{2}, orientada com normal apontando para fora.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S
onde \mathbf F(x,y,z)=(xz,\;yz,\;z^2) e S é a parte lateral do cilindro
x^2+(y-1)^2=1
entre z=0 e
z=9-x^2-y^2,
orientada para fora. Vamos usar parametrização do cilindro lateral e calcular diretamente
\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro lateral por
\mathbf r(\theta,z)=\bigl(\cos\theta,\;1+\sin\theta,\;z\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,\,9-(\cos^2\theta+(1+\sin\theta)^2)]. Note que
\cos^2\theta+(1+\sin\theta)^2=2+2\sin\theta
logo o teto é
z_{\max}=9-(2+2\sin\theta)=7-2\sin\theta.
As derivadas são
\mathbf r_\theta=(-\sin\theta,\;\cos\theta,\;0), \quad \mathbf r_z=(0,0,1),
e
\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;0),
que já aponta para fora e tem norma 1. Portanto
d\mathbf S =(\cos\theta,\sin\theta,0)\,d\theta\,dz.

Passo 3

Em cada ponto da superfície temos
\mathbf F=(xz,\;yz,\;z^2) =\bigl(z\cos\theta,\;z(1+\sin\theta),\;z^2\bigr).
Logo
\mathbf F\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0) =z\cos^2\theta+z(1+\sin\theta)\sin\theta =z\bigl(\cos^2\theta+\sin\theta+\sin^2\theta\bigr) =z\bigl(1+\sin\theta\bigr).
A integral torna-se
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{7-2\sin\theta} z\bigl(1+\sin\theta\bigr)\,dz\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{7-2\sin\theta}z\bigl(1+\sin\theta\bigr)\,dz =\bigl(1+\sin\theta\bigr)\frac{\bigl(7-2\sin\theta\bigr)^2}{2}.
Portanto
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S =\frac12\int_{0}^{2\pi}\bigl(1+\sin\theta\bigr)\bigl(7-2\sin\theta\bigr)^2\,d\theta.

Passo 5

Expandindo o integrando e usando
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi,
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^3\theta\,d\theta=0,
obtemos
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S =\frac12\bigl(49\cdot2\pi-24\pi\bigr) =\frac12\cdot74\pi =37\pi.

Resposta

37\pi

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