Calcule as integrais de superfície \int_{S} \vec{F} \cdot d S para os campos vetoriais \vec{F} e as superfícies orientadas S indicadas.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x z, y z, z^{2}\right) e S é a porção do cilindro x{2}+(y-1){2}=1 entre z=0 e z=9-x{2}-y{2}, orientada com normal apontando para fora.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x z, y z, z^{2}\right) e S é a porção do cilindro x{2}+(y-1){2}=1 entre z=0 e z=9-x{2}-y{2}, orientada com normal apontando para fora.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície
onde
e
é a parte lateral do cilindro
entre
e
orientada para fora. Vamos usar parametrização do cilindro lateral e calcular diretamente
.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro lateral por
com
e
. Note que
logo o teto é
As derivadas são
e
que já aponta para fora e tem norma
. Portanto
Passo 3
Em cada ponto da superfície temos
Logo
A integral torna-se
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Portanto
Passo 5
Expandindo o integrando e usando
obtemos
obtemos